圖片來源：pixabay

天氣越來越熱了，這個(ge) 時候能舒舒服服衝(chong) 個(ge) 澡自然是再開心不過了。但是很多朋友都有過這樣的經曆：水龍頭出來的水要麽(me) 太涼要麽(me) 太熱，怎麽(me) 也調不到滿意的溫度。要解決(jue) 這個(ge) 問題，就要涉及到我們(men) 今天要說的延遲方程了。

作者丨Chris Budd 

翻譯丨C&C 

審校丨Dannis

相信大家都有過這樣的經曆：在淋浴時感覺水太冷了，所以你打開了熱水龍頭。但是水溫不會(hui) 馬上變化——因為(wei) 熱水需要時間來流經管道——因此你最終會(hui) 把溫度調得更高。之後熱水流過了管道，從(cong) 花灑流到你身上。但是這時溫度又太高了。於(yu) 是你馬上把熱水龍頭關(guan) 上，但等到效果顯現的時候，水又太冷了。所以你又得把溫度調高。如此循環往複——似乎不可能調到正確的溫度。

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有一個(ge) 方程可以描述這種情況。從(cong) 氣候變化到COVID-19，這個(ge) 等式的應用已經遠遠超出了浴室的範圍。這是因為(wei) 世界上的很多過程會(hui) 涉及經過延遲才會(hui) 產(chan) 生的效應。但在講述它的應用之前，讓我們(men) 看一下這個(ge) 方程。

我們(men) 寫(xie) 下在t時刻感受到的水的溫度T(t)。假設水要花d秒的時間才能流過管道。那麽(me) 淋浴方程便是

（1）

我們(men) 回顧下這個(ge) 表達式。左邊表示t時刻水的溫度變化率，正值代表著t時刻水溫增加，負值代表著t時刻水溫降低。正值越大(或負值越小),在t時刻的溫度升高(或降低)的速度越快。

方程的右邊告訴我們(men) ：t時刻的變化率正比於(yu) t時刻之前d秒時的溫度，也就是說，它正比於(yu) T(t-d)。這是有道理的：溫度在t時刻的變化率取決(jue) 於(yu) 你在(t-d)時刻提高(或降低)多少熱量，而這顯然取決(jue) 於(yu) 你當時感覺水有多熱或多冷。數字k是比例常數(我們(men) 假設它大於(yu) 0)。

最後，這個(ge) 負號反映了這樣一個(ge) 事實：(t-d)時刻的高溫意味著你會(hui) 調低溫度，從(cong) 而導致t時刻的溫度降低；而(t-d)時刻的低溫意味著你會(hui) 調高溫度，從(cong) 而導致t時刻的溫度升高。

好吧，這有一點不準確的地方：嚴(yan) 格來說，這個(ge) 方程告訴我們(men) ：如果溫度低於(yu) 0，你就會(hui) 提高溫度，如果溫度高於(yu) 0，你就會(hui) 降低溫度。這顯然不太準確，因為(wei) 僅(jin) 僅(jin) 高於(yu) 0是遠遠不夠溫暖的。然而，我們(men) 可以很容易調整這個(ge) 方程使得它反映這樣一個(ge) 事實：你可以用某個(ge) 理想值（除0℃外)為(wei) 參考點來調高或調低溫度。

求解這個(ge) 方程意味著找到滿足它的函數T(t)。這個(ge) 函數T(t)會(hui) 給出任意t時刻的溫度。充分了解這個(ge) 函數後，你就會(hui) 知道，開關(guan) 熱水龍頭究竟是會(hui) 保持一個(ge) 舒適的溫度，還是會(hui) 讓你一直開下去而得不到一個(ge) 滿意的結果。

由於(yu) 我們(men) 的方程涉及到變化率，也被稱為(wei) 導數，所以這個(ge) 方程被稱為(wei) 微分方程。這樣的方程很少有容易求解的，但我們(men) 至少可以探索它的解是什麽(me) 形式。這需要一點微積分星空体育官网入口网站。如果你還沒有準備好，你可能想要跳到這篇文章的最後一部分，在那裏我們(men) 將認識到淋浴方程的重要應用。

不含延遲

讓我們(men) 先看看如果水穿過管道完全不需要時間會(hui) 發生什麽(me) ——這樣就沒有延遲：d=0。方程(1)變成

如果你知道一點微分你就會(hui) 知道下麵這個(ge) 函數

是這種情況的一個(ge) 解。下麵是這個(ge) 函數的不同值的圖。在任意一種情況下，我們(men) 看到溫度的行為(wei) 都是穩定的：它收斂到0值（前麵提到，我們(men) 假設這是我們(men) 追求的理想溫度）。

kd=0.19時的圖像

含有延遲

當有延遲時，d就不等於(yu) 0，這時候數學就變得困難了——你可以直接跳到文章的結尾，看看這個(ge) 方程的應用。

假設解的形式是這樣的

 （2）

a是一個(ge) 參數。我們(men) 的任務是找出參數a應該是怎樣的。方程(2)對t求導得到

代入原方程(1)得到

當參數a滿足下麵的超越方程時，此方程恰好成立。

（3）

我們(men) 可以把它寫(xie) 成更整潔的形式：

那麽(me) 方程(3)變成

這樣

超越方程很難解，但我們(men) 能做的就是畫出這兩(liang) 個(ge) 函數，看看它們(men) 交點的情況。這些交點的橫坐標x滿足式(3)。如下所示（你可以點擊圖片進去使用滑塊來改變(dk)的值）：

kd=0.1時的圖像

從(cong) 圖中可以看出，方程(3)隻有當時小於(yu) 0.37左右的某個(ge) 值時才有解。事實上，它隻有當

才成立。這裏e是自然對數的底。

這種情況下的解x是正數。因為(wei) x=-ad和d也是正的（記住它表示延遲），這意味著a=-x/d是一個(ge) 負數。

這樣原始的淋浴方程(1)的解具有類似與(yu) 無延遲的情況下方程解的形式：隨著時間的推移，它將趨於(yu) 0。換句話說，如果我們(men) 的延遲參數d和比例常數k的乘積小於(yu) 或等於(yu) 1/e，我們(men) 開關(guan) 熱水龍頭最終會(hui) 得到一個(ge) 理想的溫度。

如果kd>1/e將會(hui) 發生什麽(me) 呢？這時我們(men) 需要進入複數領域：這種情況下，方程(3)沒有實數解，但它卻有複數解。這裏我們(men) 不詳細討論，但事實證明，如果這些複數解的實部小於(yu) 0，淋浴的情況仍然是可控的：開關(guan) 熱水龍頭最終會(hui) 讓我們(men) 達到所需的溫度。

然而，如果複數解的實部大於(yu) 0，那麽(me) 淋浴就不可控製：溫度將持續上升和下降——當然這就讓我們(men) 很不爽。根據延遲參數d和比例常數k，這兩(liang) 種情況之間的轉變發生在乘積(kd)等於(yu) π/2的時候。

氣候變化與(yu) 新冠肺炎

如果你跳過了數學部分，現在歡迎來到應用部分！我們(men) 在數學部分得到的結論是：

如果延遲參數和比例常數的乘積(kd)小於(yu) π/2，那麽(me) 淋浴的情況是可控的:開關(guan) 熱水龍頭最終會(hui) 得到我們(men) 想要的溫度。

當kd<1/e時，這一調節過程中溫度不會(hui) 有任何振蕩；當1/e<kd<π/2時，在調節過程中，溫度會(hui) 在理想溫度附近會(hui) 有一些振蕩隨後趨於(yu) 穩定。

下麵的兩(liang) 個(ge) 圖說明了這一點。

kd=0.25<1/e情況下的溫度函數

1/e<kd=1<π/2情況下的溫度函數

然而，如果kd>π/2，溫度函數將繼續劇烈振蕩，如下圖所示。

kd=2>π/2情況下的溫度函數

現在，如前所述，讓我們(men) 看看淋浴方程的其他應用。最重要的應用是對氣候動力學的研究，因為(wei) 許多氣候現象需要時間才能產(chan) 生影響。

例如，如果我們(men) 改變現在排放到大氣中的二氧化碳量，那麽(me) 我們(men) 需要等待一段時間，才能看到這對地球溫度的實際影響。這使得很難確定二氧化碳減少的影響，並可能導致不受控製的振蕩。

另一個(ge) 例子是厄爾尼諾-南方濤動(El Niño Southern Oscillation，ENSO)。這是一種熱帶地區太平洋溫度的不規則變化，升溫事件周期大約為(wei) 4年。厄爾尼諾現象不僅(jin) 影響它出現的地區，而且對全球經濟都有重大影響。如果我們(men) 能更好地預測它，那麽(me) 這將有助於(yu) 太平洋地區的國家和地區做好準備。

厄爾尼諾對安第斯山脈天氣的影響。Riccardo Pravettoni繪製

ENSO是由洋流和大氣之間的相互作用引起的，它改變了海洋的溫度。ENSO可以用一個(ge) 和淋浴方程非常相像的方程來模擬。在這種情況下，延遲是洋流從(cong) 南美洲西海岸到亞(ya) 洲東(dong) 海岸往返所需要的時間（見上圖）。這導致了我們(men) 看到的周期性。事實上在這種情況下，方程包含額外的非線性項，這會(hui) 導致混沌動力學疊加在周期振蕩上。

我們(men) 的方程同樣適用於(yu) 理解農(nong) 業(ye) 對氣候變化的反應。這也涉及到延遲，因為(wei) 作物需要時間生長，這導致很難在變化的環境中規劃何時種植和收獲作物。

淋浴公式也與(yu) 我們(men) 目前因COVID-19而出現的情形非常相關(guan) 。回顧我們(men) 的眾(zhong) 多舉(ju) 措，我們(men) 通過社交距離和接種疫苗實現了對疫情的有效控製，生產(chan) 生活已經基本恢複正常。但事實上這些措施需要一段時間才能生效，所以我們(men) 要再次處理延遲的問題。此外，COVID-19的病毒潛伏期為(wei) 5天至2周。在這段潛伏期內(nei) ，沒有明顯的症狀，所以從(cong) 一個(ge) 人被感染到明顯生病之間有一段時間，這在模擬疫情時需要考慮。這直接導致了淋浴方程的不同版本，也就是所謂的包含了延遲和控製的SIR方程，可以用來幫助我們(men) 理解和控製流行病。就像ENSO係統一樣，一旦方程中加入了延遲，事情就變得更加不確定。因此，(衛生和經濟)係統的可控製性如何還有待觀察。

原文鏈接：

https://plus.maths.org/content/shower-equation


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