21年前，克雷數學研究所發表了數學領域內(nei) 7個(ge) 頂尖難題——“千禧年大獎難題”。解答這些問題將給基礎數學帶來不可忽視的全新見解，甚至可能通過密碼學等技術對現實世界產(chan) 生影響。而如今，這些問題隻有1個(ge) 得到了解決(jue) 。

　　撰文|Rachel Crowell

　　翻譯|莫澤鑫

　　審校|王昱

　　數學中的重大問題通常不總會(hui) 像其他科學領域的謎團一樣能引起外界的興(xing) 趣。“對於(yu) 數學研究是什麽(me) 樣子或它的意義(yi) 是什麽(me) ，許多人仍然困惑不已。”密歇根大學的數學家Wei Ho說。盡管人們(men) 經常誤解她工作的性質，但Ho說這解釋起來可能並不難。“我在聚會(hui) 上的閑聊話題總是關(guan) 於(yu) 橢圓曲線。”她補充道。Ho經常問參加聚會(hui) 的人：“你記得中學學過的拋物線和圓嗎？一旦你開始創建三次方程，事情就會(hui) 變得非常困難。。。。。。關(guan) 於(yu) 它們(men) 有很多懸而未決(jue) 的問題。”

　　一個(ge) 名為(wei) 貝赫和斯維訥通-戴爾猜想（Birch and Swinnerton-Dyer conjecture）的著名未解之謎涉及橢圓曲線方程解的性質，它是克雷數學研究所（Clay Mathematics Institute，CMI）創始科學顧問委員會(hui) 選定的七個(ge) 千禧年大獎難題之一，這些選出的問題被該研究所描述為(wei) “數學家在千年之交正在努力解決(jue) 的問題中最難的一批”。2000年5月24日，在巴黎舉(ju) 行的一次特別活動中，該研究所宣布為(wei) 首個(ge) 證明或推翻任意一個(ge) 難題的人提供100萬(wan) 美元的獎勵。2018 年修訂的規則規定，結果必須被“全球數學界普遍接受”。

　　2000 年的公告為(wei) 人們(men) 提供了一個(ge) 價(jia) 值700萬(wan) 美元的“理由”來解決(jue) 這七個(ge) 問題：黎曼猜想、貝赫和斯維訥通-戴爾猜想、P/NP 問題、楊-米爾斯存在性和質量間隙、龐加萊猜想、 納維-斯托克斯存在性與(yu) 光滑性，以及霍奇猜想。盡管聲勢浩大，還有金錢獎勵，但21年後隻有龐加萊猜想得到了證明。

　　意料之外的答案

　　2002-2003年，當時在俄羅斯科學院斯特克洛夫數學研究所的俄羅斯數學家Grigori Perelman在網上分享了與(yu) 他解答龐加萊猜想的相關(guan) 工作。2010年，CMI宣布Perelman已經證明了這個(ge) 猜想，並在此過程中也解決(jue) 了已故數學家William Thurston的相關(guan) 幾何化猜想。不過，很少與(yu) 公眾(zhong) 接觸的Perelman拒絕了獎金。

　　據CMI所說，龐加萊猜想聚焦於(yu) 一個(ge) 拓撲問題，即三維球麵是否“固有”被稱為(wei) “單連通”的特性。這個(ge) 特性意味著如果你用橡皮筋包裹球體(ti) 的表麵，在不扯斷或讓它從(cong) 表麵離開的前提下，你可以將橡皮筋壓縮到一個(ge) 點。二維球麵或甜甜圈孔是單連通的，但甜甜圈（或其他帶有孔的形狀）不是。

　　牛津大學數學家兼CMI所長Martin Bridson將Perelman的證明描述為(wei) “過去20年當之無愧的重大事件之一”和“我們(men) 對三維空間的理解的思想桂冠”。這一發現可能會(hui) 在未來帶來更多見解。“證明需要新的工具，這些工具本身正應用於(yu) 數學和物理學中，影響深遠。”弗吉尼亞(ya) 大學的數學家Ken Ono說。

　　Ono一直專(zhuan) 注於(yu) 另一個(ge) 千年問題：黎曼猜想，它涉及質數及其分布。2019 年，他和他的同事在《美國科學院院刊》上發表了一篇論文，重新審視了一種古老的，已經被棄用的方法，並用它來尋求答案。在隨附的評論中，普林斯頓高等研究院的數學家、1974年數學最高榮譽菲爾茲(zi) 獎獲得者Enrico Bombieri將這項研究描述為(wei) “重大突破”。然而Ono表示，將他的工作描述為(wei) “即將證明黎曼猜想”是沒有根據的。

　　反麵的進展

　　到目前為(wei) 止，“列出的問題中僅(jin) 有一個(ge) 已經得到解決(jue) ”這一事實對專(zhuan) 家來說並不奇怪——畢竟，這些謎題已經存在很長時間，而且解答難度驚人。普林斯頓大學的數學家、2014年菲爾茲(zi) 獎獲得者Manjul Bhargava表示，目前“已解決(jue) 的問題數量比我預期的要多一個(ge) ”。Bhargava本人最近報告了多項與(yu) 貝赫和斯維訥通-戴爾猜想相關(guan) 的成果。在其中一項成果裏，他說他和他的同事“證明超過 66%的橢圓曲線滿足貝赫和斯維訥通-戴爾猜想”。

　　解答這些問題都不容易，但有些問題可能會(hui) 格外棘手。P/NP問題看起來很難解決(jue) ，以致於(yu) 得克薩斯大學奧斯汀分校的計算機科學家Scott Aaronson稱其“顯示了我們(men) 的無知”。這個(ge) 問題涉及容易驗證的問題（一類稱為(wei) NP的查詢）是否也有易於(yu) 找到的解（一類稱為(wei) P的問題）。Aaronson撰寫(xie) 了大量關(guan) 於(yu) P/NP問題的文章。在2009年發表的一篇論文中，他和高級研究所的數學家和計算機科學家、2021年阿貝爾獎的獲得者之一Avi Wigderson展示了證明類P與(yu) 類NP不同的新障礙。Aaronson和Wigderson發現的障礙是迄今為(wei) 止發現的第三個(ge) 。

　　麻省理工學院的理論計算機科學家和數學家Virginia Vassilevska Williams說：“在證明哪些方法行不通的方麵，已經取得了很多進展……證明類P不等於(yu) 類NP將是證明密碼學具有良好基礎的重要墊腳石，現在的密碼學基於(yu) 未經證實的假設。”其中之一就是 P 不等於(yu) NP。“為(wei) 了表明你無法破解人們(men) 在現代計算機中需要的加密協議，包括那些保護我們(men) 的金融和其他在線個(ge) 人信息安全的協議，你至少需要證明 P不等於(yu) NP。”Vassilevska指出。

　　“如果讓我用數字說明說有多大把握，我會(hui) 說P不等於(yu) NP的機會(hui) 有97%或98%。”Aaronson說。

　　攀登珠峰

　　尋找“千禧年大獎難題”的答案類似於(yu) 第一次嚐試攀登珠穆朗瑪峰，Ono表示：“在此過程中，有許多階梯，它們(men) 象征著取得的進展。真正的問題是：你能到達大本營嗎？就算可以，你也知道你仍然離峰頂很遠。”

　　對於(yu) 諸如貝赫和斯維訥通-戴爾猜想猜想以及黎曼猜想等問題，Ono說：“顯然我們(men) 還在尼泊爾，”——登山的出發國之一——“但當我們(men) 到達大本營之後呢？”數學家可能仍然需要額外的“裝備”才能到達頂峰。“我們(men) 現在正試圖弄清楚數學中這些‘高科技工具’和‘氧氣瓶’會(hui) 是什麽(me) ，它們(men) 將幫助我們(men) 達到頂峰。”Ono說。誰知道在當前的研究和這些問題的可能解決(jue) 方案之間會(hui) 遇到多少障礙？“也許有 20 個(ge) ，也許我們(men) 比我們(men) 想象的更接近。”Ono說。

　　盡管這些問題很難，數學家對長期前景持樂(le) 觀態度。“我非常希望，在我擔任克雷研究所的所長時，其中一個(ge) 問題會(hui) 得到解決(jue) 。”Bridson說。他指出 CMI 正在製定戰略，以最好的方式繼續引起對這些問題的關(guan) 注。“但必須承認，它們(men) 是非常困難的問題，可能會(hui) 在我的餘(yu) 生中繼續影響數學卻沒有得到解決(jue) 。”

　　原文鏈接：

　　https：//www.scientificamerican.com/article/the-top-unsolved-questions-in-mathematics-remain-mostly-mysterious/

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