撰文丨Jean-Paul Delahaye

翻譯丨張和持

編輯丨楊心舟

人們(men) 總是津津樂(le) 道於(yu) 各種未解之謎。從(cong) 1937年阿米莉亞(ya) ·埃爾哈特（Amelia Earhart）在太平洋上空離奇失蹤，到1962年三名囚犯，弗蘭(lan) 克·莫裏斯（Frank Morris），約翰·安吉林（John Anglin）和克拉倫(lun) 斯·安吉林（Clarence Anglin）傳(chuan) 奇般地從(cong) 美國加州的惡魔島越獄，各種具有神秘色彩的故事充實了大眾(zhong) 枯燥的生活。

當然，這些故事也不僅(jin) 隻來自真實曆史。1979年，道格拉斯·亞(ya) 當斯（Douglas Adams）發表了他五部係列科幻小說的第一本——《銀河係漫遊指南》。在這本小說的最後，名為(wei) “深思”的超級計算機揭示了關(guan) 於(yu) “生命，宇宙以及萬(wan) 事萬(wan) 物”的“終極問題”的答案：“42”。

“深思”運行了整整750萬(wan) 年才計算出這個(ge) 結果。但小說中製造出這台超級計算機的外星人令人大失所望，畢竟單純一個(ge) 數字並沒有多大用處。不過，“深思”也告訴外星人，它們(men) 提出的問題太過籠統。要找到問題的準確表述，超級計算機需要耗費漫長的時間，對自己進行版本更新。而計算機的新版本便是地球。感興(xing) 趣的讀者可以讀一讀亞(ya) 當斯的書(shu) 。

而數字“42”隨後便成為(wei) 了極客文化（反主流文化）的根基，引申出了不少典故和玩笑。比如你在搜索引擎裏麵輸入“一切的答案是什麽(me) ？”跳出來的回答多半是“42”。用其他語言（比如法語或德語）或是不同的搜索引擎，都能得到相同的結果。

從(cong) 2013年開始，世界各地陸續建起了一係列名為(wei) “42網絡”的計算機培訓學校，這個(ge) 名字顯然引申自亞(ya) 當斯的小說。時至今日，創辦“42網絡”的公司已經擁有超過15個(ge) 教學基地。而在電影《蜘蛛俠(xia) ：平行宇宙》中，同樣出現了各種花樣的“42”。如果你點進維基百科“42”詞條，會(hui) 發現更多有趣的典故。

實際上，關(guan) 於(yu) 42還有很多有趣的巧合，不過這些巧合為(wei) 什麽(me) 存在，可能就不得而知了。比如在古埃及神話中，當人死後成為(wei) 靈魂時需要接受審判，死者需要向42名審判官表明自己沒有犯下過42樁罪行中的任何一項。

而在另外的傳(chuan) 說中，希臘人戰勝波斯帝國之後，派使者菲迪皮德斯從(cong) 馬拉鬆回到雅典，走過的路程約為(wei) 42.195公裏，現代的馬拉鬆比賽距離也是取自此處（而當時並沒有“公裏”這個(ge) 單位）。

吐蕃有42代讚普，其中初代聶赤讚普於(yu) 約公元前127年即位。末代讚普，也就是第42代讚普朗達瑪在位時間從(cong) 公元838年開始，結束於(yu) 公元842年。而歐洲最早用活字印刷術出版的古騰堡聖經，每頁有42行，所以又稱為(wei) “四十二行聖經”。

今年3月6日，《經濟學人》博客發表文章，紀念1978年《銀河係漫遊指南》係列最早問世的廣播劇已達42周年（在此之後才發表了小說）。文章寫(xie) 道：“很少有人會(hui) 紀念42周年”。

作者隻是隨手一寫(xie)

很多人都想問，亞(ya) 當斯的42究竟有什麽(me) 意義(yi) ？他在線上討論群裏簡潔地回答了這個(ge) 問題：“這是個(ge) 玩笑。首先，我得找一個(ge) 簡單又短小的數字，然後我就決(jue) 定是它了。二進製，十三進製，吐蕃讚普之類的推測全都是空穴來風。我當時就坐在寫(xie) 字台邊，盯著花園，想了想，‘42就行了’。然後我就把它打了出來。就這麽(me) 簡單。”

在二進製中，42寫(xie) 作101010，看起來簡約又巧妙。很多粉絲(si) 因此舉(ju) 辦了一場聚會(hui) ，時間就在2010年10月10日（10/10/10）。但十三進製下的解釋就不那麽(me) 明顯了。你必須回答“六乘以九得多少？”才能得到線索，在十三進製下，(4 x 13) + 2 = 54。

除了這些計算機科學家無聊的牽強附會(hui) ，以及在曆史長河中找出來的某些巧合，到底42這個(ge) 數字在數學上有什麽(me) 特別之處呢？

數學上的獨一無二？

42有不少有趣的數學性質。我們(men) 這裏舉(ju) 出幾個(ge) ：

2的前三個(ge) 奇數指數的和：21 + 23 + 25 = 42。如果把這樣的n個(ge) 奇數次方的和作為(wei) 一個(ge) 數列a(n)（也就是說42= 2(3)），我們(men) 就得到了數列A105281。（OEIS這個(ge) 網站是由數學家尼爾·斯隆創建的，專(zhuan) 門搜集你想得到想不到的各種數列，你可以在上麵用前幾項檢索）。在二進製下，這個(ge) 數列的每一項其實就是把“10”寫(xie) n遍(1010 ... 10)。數列的通項公式是 a(n) = (2/3)(4n – 1)。隨著n增大，數字的密度會(hui) 趨向於(yu) 0。也就是說，這個(ge) 數列裏的數，包括42，其實相當地稀有。

42還是6的前兩(liang) 個(ge) 正次方的和：61 + 62 = 42。這裏相對應的數列b(n)，對應OEIS的A105281，通項公式為(wei) b(0) = 0, b(n) = 6b(n – 1) + 6。數的密度在無窮遠處也趨向於(yu) 0。

42是一個(ge) 卡塔蘭(lan) 數。這種數也十分稀有，一百萬(wan) 以下的卡塔蘭(lan) 數隻有14個(ge) ，比質數少得多。歐拉當時是為(wei) 了解答“凸n邊形可以分解為(wei) 多少個(ge) 三角形”這個(ge) 問題，才引入了這一概念。數列開頭幾項為(wei) 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132...可以在OEIS的A000108中找到。通項公式為(wei) c(n) = (2n)! / (n!(n + 1)! )。跟前兩(liang) 個(ge) 數列一樣，數的密度也無限趨近於(yu) 0.

42也是一個(ge) 相當“實用”的數字，因為(wei) 1和42之間的任何整數，比如20，都可以像這樣分解為(wei) ：20=14+6，其中14和6都可以整除42（即42的因子），其他1到42的數也一樣，它們(men) 都能表示為(wei) 42的不同因子的和。這樣的“實用”數字前幾項為(wei) ：1, 2, 4, 6, 8, 12, 16, 18, 20, 24, 28, 30, 32, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 64, 66, 72(A005153)。目前我們(men) 還不清楚這個(ge) 數列的通項公式。

甚是有趣，可惜這並不能說明42在數學上有任何獨特的意義(yi) 。它的鄰居41和43也具有許多奇妙的性質。你隻需要在維基百科中搜索任何一個(ge) 數字，就能找到關(guan) 於(yu) 它的各種不同性質。

那麽(me) 我們(men) 怎麽(me) 才能判斷某個(ge) 數有趣與(yu) 否呢？我和兩(liang) 名合作夥(huo) 伴：數學家與(yu) 心理學家尼古拉斯·高維特（Nicolas Gauvrit），計算學家赫克托·澤尼爾（Hector Zenil），曾經研究過這個(ge) 問題。我們(men) 也試圖往柯氏複雜性這方麵走，但最終結果表明，OEIS中收錄的數列其實主要還是來自人們(men) 的喜好。

三個(ge) 數的立方和

計算機科學家和數學家們(men) 偶爾也會(hui) 對42感興(xing) 趣，不過對他們(men) 來說，這隻是閑暇時的小遊戲，即使換個(ge) 數字也能玩。不過，前不久的一則新聞吸引了他們(men) 的注意。這便是“三立方和”問題，在這個(ge) 問題中，42比其他100以下的數都更具有挑戰性。

這個(ge) 問題是這樣的：如何判斷一個(ge) 數n能否分解為(wei) n = a3 + b3 + c3的形式？又該如何找到這樣的a,b,c？由於(yu) abc有可能是負數，所以它們(men) 的組合是無窮無盡的，不像平方和。平方和分解出來的數絕對值必然小於(yu) 原數，因而組合是有限的；並且給定一個(ge) 數，我們(men) 可以肯定地判斷它能否分解為(wei) 平方和。

而對於(yu) 立方和來說，其分解可能會(hui) 大的離譜，比如156，這個(ge) 數字的分解是在2007年發現的：

156 = 265771108075693 + (−18161093358005)3 + (−23,381515025762)3

在分解之前，首先要注意到一個(ge) 問題，那就是，形如9m+4和9m+5的數是無法分解的（像4，5，13，14，22，23）。

為(wei) 了說明找到解有多難，我們(men) 先舉(ju) 兩(liang) 個(ge) 例子，n=1和n=2。

n=1的時候很簡單：

13 + 13 + (–1)3 = 1

那還有別的分解嗎？答案是肯定的：

93 + (–6)3 + (–8)3 = 729 + (–216) + (–512) = 1

解還不隻這些。1936年，德國數學家庫爾特·馬勒（Kurt Mahler）發現，對於(yu) 任何p，下麵這個(ge) 式子都成立：

(9p4)3 + (3p – 9p4)3 + (1 – 9p3)3 = 1

證明相當簡單，隻需要用到中學學過的二項式展開：

(A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3

對於(yu) n=2，也存在無窮多個(ge) 解。下麵的式子是1908年由A. S.韋雷布魯索夫（A. S. Werebrusov）發現的：

(6p3 + 1)3 + (1 – 6p3)3 + (–6p2)3 = 2

隻要在上式兩(liang) 邊乘上一個(ge) 完全立方數(r3)，我們(men) 就能得到：對於(yu) 任何完全立方數和完全立方數的兩(liang) 倍，都有無窮個(ge) 解。

比如說16，它是2的 23倍，那麽(me) 取p=1的話，就有

143 + (–10)3 + (–12)3 = 16

n=3時，我們(men) 已知的解隻有兩(liang) 個(ge) （截至2019年8月）

13 + 13 + 13 = 3; 43 + 43 + (–5)3 = 3

那麽(me) 自然我們(men) 就要問：除了上麵已經證明無法分解的數以外，其他數是不是都能分解？

計算機的勞動

為(wei) 了回答這個(ge) 問題，數學家開始挨著驗證除了9m+4和9m+5以外的數字1, 2, 3, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 15, 16 ... (A060464)。要是前麵這些數字能找到解的話，那這樣的分解就很有可能是普遍存在的。

目前為(wei) 止，兢兢業(ye) 業(ye) 的計算機以及計算機網絡為(wei) 這項問題的研究提供了不少結果。而最終我們(men) 又回到了42。

2009年，兩(liang) 名德國數學家，安德烈亞(ya) 斯·斯蒂芬·埃爾森漢斯（Andreas-Stephan Elsenhans ）和約格·賈內(nei) 爾（Jörg Jahnel）使用了一種由哈佛大學的諾姆·埃爾基斯（Noam Elkies）於(yu) 2000年提出的方法，對1000以內(nei) 的n，尋找所有1014以內(nei) 的“三立方和”問題中的a,b,c。大多數n都得到了解答，除了33, 42, 74, 114, 165, 390, 579, 627, 633, 732, 795, 906, 921, 975。而100以內(nei) 的，就隻有33,42和74。

2016年，桑德·惠斯曼（Sander Huisman）（如今就職於(yu) 荷蘭(lan) 特溫特大學），找到了74的解：

(–284650292555885)3 + (66229832190556)3 + (28,450105697727)3

2019年，英國布裏斯托大學的安德魯·布克（Andrew Bookder）找到了33的解

88661289752875283 + (–8778405442862239)3 + (–2736111468807040)3

至此，道格拉斯·亞(ya) 當斯的42已經是100以內(nei) 僅(jin) 剩的未解數字。要是解不存在，42可真就是與(yu) 眾(zhong) 不同了。不過，計算機還沒有放棄，它們(men) 繼續尋找著答案。

答案在2020年終於(yu) 揭曉，前文提到的布克，以及MIT的安德魯·薩瑟蘭(lan) （Andrew Sutherland）是主要功臣。通過慈善引擎平台，使用了可對等於(yu) 超過一百萬(wan) 小時的計算時間，終於(yu) 得到了結果：

42 = (–80538738812075974)3 + 804357581458175153 + 126021232973356313

165，795和906也在近日宣告解決(jue) 。現在1000以下隻剩114, 390, 579, 627, 633, 732, 921, 975了。

現在看來，除了9m + 4 和9m + 5 以外的所有數字很有可能都存在分解。1992年，牛津大學的羅傑·希思-布朗（Roger Heath-Brown）還提出了一條更強的猜想：他猜測這種分解對於(yu) 每個(ge) 數而言都是無窮的。不過，目前為(wei) 止，我們(men) 離證明這些猜想還有很長距離。

這個(ge) 問題實在是太難了。一般說來，沒有任何算法可以遍曆全部可能。比如說，早在1936年，艾倫(lun) ·圖靈（Alan Turing）就證明了，沒有任何算法能解決(jue) 全部電腦程序的停機問題。不過現在問題的領域，已經到了易於(yu) 描述的的純數學。假如我們(men) 能證明這個(ge) 問題的不確定性，那也將是向前邁進的一大步。

42這個(ge) 數字很難解，但根本就不是最後一步！

原文鏈接：

https://www.scientificamerican.com/article/for-math-fans-a-hitchhikers-guide-to-the-number-42/

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