當歐氏幾何走到了頭

17 世紀早期，盡管科學在各個(ge) 領域有了重大突破，但是數學還隻有一個(ge) 幾何體(ti) 係，就是根據古希臘數學家歐幾裏得所著的《幾何原本》創立的經典平麵幾何體(ti) 係。這個(ge) 體(ti) 係僅(jin) 適用於(yu) 由直線和圓組成的圖形。這時候的代數，不過是幾何的附屬品。

然而，隨著人們(men) 對科學的不斷深入探索，許多新的奇形怪狀的圖形相繼出現，這些都沒有辦法通過歐氏幾何理論進行分析。比如，為(wei) 了描述天體(ti) 運行的軌道，天文學家繪製了橢圓、雙曲線、拋物線，其中拋物線也很好地勾勒出炮彈出膛後的運動軌跡；在海上航行時人們(men) 常常借助月亮來判定方位，因此人們(men) 迫切需要了解月球的運行軌跡和規律；望遠鏡和顯微鏡的發明，使透鏡走進了人們(men) 的視野，但是人們(men) 對透鏡的性質和參數卻完全沒有概念，比如說透鏡表麵應該是做成什麽(me) 樣，才能有最好的光線會(hui) 聚性能？

要解決(jue) 這些問題，需要了解曲線的概念和定量分析方法。但是歐幾裏得沒有提出任何有關(guan) 曲線問題的解決(jue) 方法，古希臘人在圓錐曲線（平麵與(yu) 圓錐體(ti) 相交得到的曲線）方麵留下的著述也非常少。沒有可以參考的方法，這是當時的數學家所麵臨(lin) 的困境，數學方法的落後甚至妨礙到了整個(ge) 科學的發展。

這時，有一位法國數學家率先站了出來，明確地表示了對歐氏幾何那套方法的強烈不滿。歐幾裏得的《幾何原本》裏提到的每一個(ge) 問題，證明過程都需要一個(ge) 新穎、奇巧的方法，不但過於(yu) 抽象，而且多依賴於(yu) 圖形，甚至需要解題者具有非凡的想象力。古希臘數學家雖然在研究數學問題上花費了大量的時間，卻從(cong) 不考慮它們(men) 的實際應用問題。他直接抨擊歐氏幾何“成了一門充滿混亂(luan) 和晦澀、有意用來阻礙思想的記憶，而不是一門有益於(yu) 思想發展的藝術”。

這位數學家，就是勒內(nei) • 笛卡爾（René Descartes）。

1637 年，他發表了著作《方法論》。在一篇叫作《幾何學》的附錄中，他提出了一種不依賴於(yu) 圖形也更為(wei) 普遍的方法，這就是將代數應用於(yu) 幾何，把幾何和代數中的精華部分結合起來，互相以長補短，我們(men) 稱之為(wei) “解析幾何”。

數學的“魔鑰匙”

1596 年，笛卡爾出生於(yu) 法國拉艾的一個(ge) 中產(chan) 階級家庭。8 歲那年，他數學產(chan) 生了興(xing) 趣，在接受了 10 年的正規學校教育之後，他決(jue) 心通過直接的身體(ti) 驗來更好地了解世界。他到巴黎體(ti) 會(hui) 了浮華的生活，又回到了拉艾進行了一段時期的沉思。後來，他時而隨軍(jun) 參戰，時而四處旅行，時而在巴黎醉生夢死。最後，他決(jue) 心安定下來。在接下的 20 年裏，他大部分的時間和精力都用來著述。

在笛卡爾活躍的一生中，他其實一直在思考，“我們(men) 怎麽(me) 理解事物，如何才能獲得真理？”盡管真理不會(hui) 自己產(chan) 生，但是對笛卡爾來說似乎有些例外。至少他自己是這樣說的，他的靈感來源於(yu) 一個(ge) 夢境。

1619 年 11 月 10 日，在慶祝聖馬丁節的盛宴上狂飲之後，笛卡爾做了一個(ge) 生動的夢。據笛卡爾所說，“在夢中他正用不帶迷信的科學眼光，觀察著凶猛的風暴，他發現一旦他看出風暴是怎麽(me) 回事兒(er) ，它就不能傷(shang) 害他了。”這個(ge) 夢境仿佛向他展示了一把“魔鑰匙”，這把鑰匙能打開大自然的寶庫，並使他掌握所有科學的真正基礎。盡管，笛卡爾並沒有明確說明這把神奇的鑰匙是什麽(me) ，不過人們(men) 通常認為(wei) 這就是把代數應用於(yu) 幾何的方法，就是解析幾何。

他認為(wei) ，代數可以很好地彌補幾何在抽象方麵的不足，因為(wei) 代數可以直接用抽象的符號和數字進行推理，而且代數還可以把推理過程變得程式化，從(cong) 而讓每一個(ge) 人在麵對數學問題時，不必因為(wei) 想象力的限製而裹足不前。

於(yu) 是，一種新的數學方法應運而生，這就是現在眾(zhong) 所周知的解析幾何，也是現代應用數學的基礎。

人們(men) 把 1619 年 11 月 10 日當成解析幾何誕生的日子，也是現代數學的誕生日。解析幾何理論就像一道光一樣，將蒙在數學家眼前的黑暗漸漸驅散，迎來了數學界的嶄新的黎明。

公式和圖形牽手

解析幾何因為(wei) 它的簡單而格外引人注目。就像數學中所有真正偉(wei) 大的東(dong) 西一樣，解析幾何的基本概念簡單到近乎一目了然的地步。這個(ge) 基本概念就是坐標係。

幾何中最簡單的圖形是直線，直線很容易理解，也很容易描述，笛卡爾就想辦法用直線來表示曲線。在平麵上放置兩(liang) 條相互垂直的直線，以相交的位置作為(wei) 原點，指定這兩(liang) 條直線的方向，畫上刻度，就建立起了笛卡爾平麵直角坐標係。對於(yu) 坐標係內(nei) 的某一個(ge) 點，我們(men) 可以用一對數字來表示（x，y），用正負號表示它具體(ti) 位於(yu) 原點的哪一側(ce) ，x 和y 分別表示它在兩(liang) 個(ge) 方向上離開原點的距離。這對數字，我們(men) 稱為(wei) “坐標”。

比如，一座城市的地圖上，大道從(cong) 南到北按數字分成 1 大道、2 大道、3道……街由東(dong) 向西按數字分成 1 街、2街、3 街……我們(men) 可以把大道和街建成一個(ge) 坐標係，任何建築都可以按照靠近哪個(ge) 大街—大道交口來定位。比如紐約圖書(shu) 館的位置位於(yu) ：5 大道和 41 街的交口。

通過構建坐標係，幾何圖形或者說曲線上的任何點，都可以用兩(liang) 個(ge) 數來表達了。原本複雜的幾何問題就轉化成了能用公式和數字來表達的代數問題，接下來需要做的就是按照代數方法來計算。我們(men) 來看一個(ge) 典型的例子。

勾股定理說直角三角形兩(liang) 直角邊的平方和等於(yu) 斜邊的平方。如果我們(men) 把這個(ge) 直角三角形放到坐標係裏，讓一個(ge) 銳角頂點位於(yu) 原點，銳角相鄰的直角邊與(yu) x 軸重合。

我們(men) 把三角形的斜邊長設為(wei) R，兩(liang) 直角邊分別為(wei) x 和 y，那麽(me) 對應於(yu) R，我們(men) 可以畫出不同的x、 y 組成的很多個(ge) 三角形，它們(men) 都滿足關(guan) 係式：

x^2+ y^2 ＝ R^2，

當我們(men) 把這些三角形的另一個(ge) 銳角的頂點連起來時，就得到了一個(ge) 圓，而這個(ge) 圓的半徑就是 R。

於(yu) 是，我們(men) 就在代數方程和幾何圖形之間建立起了聯係。這就是笛卡爾建立的解析幾何體(ti) 係，按照這種思想，任何幾何曲線都可以通過建立坐標係用一個(ge) 方程來表示。反過來，對於(yu) 一個(ge) 已有的方程，數學家也可以在坐標係內(nei) 畫出它的樣子，一根曲線、一個(ge) 曲麵，或者是一個(ge) 球麵，從(cong) 而進一步研究它的性質。比如：

y ＝ x^2，

通過在坐標係裏描點、連線，我們(men) 可以得到這個(ge) 方程對應的曲線，這是一根拋物線。拋物線在科學、技術、工程等領域中廣泛出現。

2 000 多年前，古希臘數學家在研究圓錐曲線時已經發現了拋物線，但隻有到了解析幾何，才能對拋物線進行有實用價(jia) 值的定量研究。

更重要的是，笛卡爾的解析幾何並不限於(yu) 平麵幾何，而是同樣適用於(yu) 三維甚至多維空間。在三維空間內(nei) ，我們(men) 可以在平麵坐標軸的垂直方向上增加一條“z”軸，並用 3 組數（x，y，z）來代表空間內(nei) 的每一個(ge) 點。比如，我們(men) 在繪製三維城市地圖時，隻需在考慮建築物位於(yu) 大道和大街的位置之餘(yu) ，增加一個(ge) 表示建築物高度的參數。

在坐標係上建築現代數學

為(wei) 了構建一種更好的數學方法，笛卡爾把方程和曲線結合了起來，也把代數和幾何合二為(wei) 一，讓代數不再附庸於(yu) 幾何。坐標係的應用不僅(jin) 把幾何上已有的曲線轉化成了方程，也通過構建方程定義(yi) 了一些複雜的曲線，大大簡化了複雜曲線的分析過程。雖然曲線千變萬(wan) 化，構建方程的方法卻始終如一。

在建立了坐標係後，平麵上的一曲線可以通過兩(liang) 個(ge) 變量的函數方程來表示，這不僅(jin) 把代數和幾何聯係起來，而且還把變量、函數等重要概念密切聯係了起來，由此也對牛頓的研究有了一定的啟發。在牛頓發表的《流數法與(yu) 無窮級數》中，采用了很多解析幾何的方法，而牛頓的流數法正是我們(men) 現在所說的微積分。

盡管笛卡爾的解析幾何主要解決(jue) 的是圓錐曲線的問題，但在他的理論基礎上，17、18 世紀的科學家還引入了一些其他的新坐標係，解決(jue) 了一些更為(wei) 複雜的曲線問題。在那個(ge) 科技文明大發展的時代，解析幾何的思想解決(jue) 了天文學、力學和技術中的許多實際問題。笛卡爾的工作大大提高了數學在科學研究中的地位，也向全世界證明了數學在探索真理過程中發揮的作用和力量。解析幾何的提出，是一個(ge) 時代結束的標誌，為(wei) 日後微積分的出現奠定了堅實的基礎，而後者又是現代數學的基石。

本文轉自公眾(zhong) 號：數學職業(ye) 家



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