最近，閑暇時候會(hui) 看《疑犯追蹤》（Person of Interest）來減壓。有一集是關(guan) 於(yu) 最著名的數學常數——圓周率π， π等於(yu) 周長與(yu) 直徑之比，一般近似為(wei) 3.14159。芬奇先生（主角）擔任代課老師，並在黑板上寫(xie) 了3.1415926535。然後他問學生，這是什麽(me) 意思？

我在心裏回答著這個(ge) 問題，如果有一個(ge) 直徑為(wei) 1的自行車輪胎，那麽(me) 自行車輪胎轉一圈的距離就是π。然而，電影裏卻沒有人回答。然後芬奇先生自己回答了這個(ge) 問題：

• 疑犯追蹤，第二季，第11集截圖

圓周率，即圓周長與(yu) 直徑之比——3.1415926535——僅(jin) 僅(jin) 是個(ge) 開始。它會(hui) 一直持續下去，不會(hui) 重複，也就是說在這串小數中包含了其他的數；你的出生日期，你儲(chu) 物櫃的密碼，你的身份證等等，都在這個(ge) 小數的某個(ge) 地方。如果你把這些小數轉換成字母，你會(hui) 得到每一個(ge) 曾經存在過的單詞以及每一種可能的組合；你小時候說的第一個(ge) 音節，你的名字，你的整個(ge) 人生故事，還有我們(men) 說過或做過的每一件事。世界上所有的無限可能都在這個(ge) 簡單的圓周率裏。現在，你會(hui) 用這些信息做什麽(me) ？它有什麽(me) 好處？那就看你的了！

雖然這不太準確，但我很喜歡。世界上大多數教師都在努力成為(wei) 像芬奇先生這樣優(you) 秀而有趣的老師。他將這一主題擴展到課本之外，並使學生保持專(zhuan) 注。

• 這是一些關於圓周率的書：利茲·茲姆斯卡的《奇妙的圓周率》、彼得·貝克曼的《圓周率的曆史》、歐吉妮婭·程的《怎樣做圓周率》。

• 圓周率是圓周長與直徑之比。

但芬奇先生錯了，因為(wei) 數學家還沒有證明圓周率具有“正態性”的特征。換句話說，數學家們(men) 不確定π是否包含從(cong) 0到9的所有有限長的數字排列。

• π的小數位是無窮無盡的。

沒有人知道我們(men) 會(hui) 在π數字中找到什麽(me) 。例如，當我們(men) 檢查π的前10億(yi) 位數時，我們(men) 看到數字7出現了近1億(yi) 次。這使得π成為(wei) 一個(ge) 優(you) 秀的隨機數生成器，因為(wei) 得到數字7的概率應該是10%。然而，在某些點之後，π可能不包含數字7，而是有一個(ge) 隻有兩(liang) 位數或三位的非重複數字，如010203112233000111222333。

在π的前761位之後，有一個(ge) 著名的數學巧合，即6個(ge) 9連續出現，這被稱為(wei) 費曼點。

但是我們(men) 可以肯定的是，π的數字是無限的，而且是隨機的。這種隨機性讓π變得有趣，因為(wei) π的值是有上限的，然而，它的十進製值是無限長的。π是一個(ge) 常數，因為(wei) 它是一個(ge) 圓的周長和直徑的比值，這是一個(ge) 有限的值。

1768年，約翰·蘭(lan) 伯特證明了π是一個(ge) 無理數。22/7是一個(ge) 常用的近似值，但它並不包含π的所有數字。

• 蘭伯特的證明中的公式

1882年，費迪南德·林德曼證明了π是一個(ge) 超越數（超越數是另一篇文章了）。

數學家金田康正（Yasumasa Kanada）發現，π的前一萬(wan) 億(yi) 位數在統計學上是隨機的。他的計算花了600多個(ge) 小時。

• π的前一萬億位中每個數字出現的次數

多年之後，2019年，艾瑪遙岩男（Emma Haruka Iwao）用電腦花了121天的時間，計算出了π的前34.1萬(wan) 億(yi) 位。超級計算機仍在計算π的值。

回到芬奇先生的話題上，我們(men) 發現他並不是完全錯了。我們(men) 可以很容易地在π中找到我們(men) 的生日。

如果π是一個(ge) 正規數（是數字顯示出隨機分布，且每個(ge) 數字出現機會(hui) 均等的實數），那麽(me) 我們(men) 可以說我們(men) 的整個(ge) 命運都被π編碼了。我們(men) 將來拍的照片將是在π裏。就連這篇文章也在π裏存在了幾千年。此外，所有生物的DNA都在π中。芬奇先生可能是對的，但我們(men) 還不確定。

有一種有趣的方式來顯示π的隨機性。一些藝術家使用顏色進行數據可視化。馬丁·沙茲(zi) 溫斯基就是這樣一位藝術家，他在π的隨機性中發現了美和藝術。他取π的數字，並給每個(ge) 數字不同的顏色。例如，他讓3為(wei) 橙色，1為(wei) 紅色，4為(wei) 黃色等等。然後他做了一張漂亮的海報。如果你仔細看，你看不到任何特定的圖案的顏色。

此外，π還有很多迷人的事實。它也是迄今為(wei) 止數學史上研究最多的數字。幾個(ge) 世紀以來，數學家們(men) 一直在努力精確地計算π。

• 圖片來源：今日美國的。

那麽(me) ，我們(men) 應該停止對π的研究，還是繼續尋找一個(ge) 更好的近似？假設π等於(yu) 3.14就足夠了嗎?或者，用40位π來求出銀河係的周長，誤差小於(yu) 一個(ge) 質子的大小！前152位數π足以計算出可觀測到的宇宙的周長，但這夠了嗎？

有數百位數學家多年來一直在努力計算出更精確的π。但是為(wei) 什麽(me) 呢？數學家們(men) 為(wei) 什麽(me) 要計算這麽(me) 多位數的π呢？為(wei) 什麽(me) π的34.1萬(wan) 億(yi) 位還不夠？

• 每次旋轉都是π的表達式。麗貝卡·陶萊，《數字之美：圓周率/ 3.14》

這是因為(wei) π是一個(ge) 隨機數生成器。然而，真正的原因是，各國可以向其他國家展示他們(men) 的科技實力，因為(wei) 計算萬(wan) 億(yi) 位數的圓周率需要一個(ge) 強大的計算機。因此，要求計算機計算π被稱為(wei) “壓力測試”，它可能會(hui) 導致計算機崩潰。

1962年9月12日，約翰·肯尼迪發表了關(guan) 於(yu) 太空計劃的演講。他說：

到目前為(wei) 止，外層空間還沒有戰爭(zheng) 、偏見和國家衝(chong) 突。它的危險對我們(men) 所有人都是有害的。征服地球值得全人類付出最大的努力，和平合作的機會(hui) 可能永遠不會(hui) 再來。但有人問，為(wei) 什麽(me) 是月球？為(wei) 什麽(me) 選擇這個(ge) 作為(wei) 我們(men) 的目標？他們(men) 可能會(hui) 問為(wei) 什麽(me) 要爬最高的山？我們(men) 選擇去月球。我們(men) 選擇在這個(ge) 十年去月球，不是因為(wei) 它們(men) 容易，而是因為(wei) 它們(men) 很難，因為(wei) 這個(ge) 目標將有助於(yu) 組織和衡量我們(men) 的最佳精力和技能，因為(wei) 這是一個(ge) 我們(men) 願意接受的挑戰，一個(ge) 我們(men) 不願推遲的挑戰，一個(ge) 我們(men) 打算贏得的挑戰，還有其他的挑戰。

我們(men) 不可避免地與(yu) 過去聯係在一起，而π是貫穿整個(ge) 人類曆史的一條線。這就是為(wei) 什麽(me) 我們(men) 可以說，隻要有人在，就總會(hui) 有人想知道接下來會(hui) 發生什麽(me) 。我向你們(men) 保證，在世界上的某個(ge) 地方，有一位數學家或科學家在用π做一些對宇宙很重要的事情，因為(wei) π仍然是自然界的神秘常數。

發現π

前麵的說法完全正確，因為(wei) 一直都有人在研究π。數學和文明一樣古老。人類研究π已經將近4000年了。當最後的猛獁象滅絕時，人們(men) 正在探索π。據我們(men) 所知，古希臘的阿基米德是最早計算π的人之一。但是他是如何估算π的值的呢?

首先，他認為(wei) 所有的多邊形都是一個(ge) 圓。根據阿基米德的理論，如果不斷增加一個(ge) 多邊形的邊數，你就會(hui) 更接近完美的圓。換句話說，五邊形比正方形更圓，而六邊形比五邊形更圓，以此類推。因此，傳(chuan) 奇數學家阿基米德在兩(liang) 千多年前就把圓定義(yi) 為(wei) 有大量邊的正多邊形。

• 單位圓內的多邊形

他找到了一種計算圓周長的方法。首先，他畫了一個(ge) 與(yu) 一個(ge) 圓周長相接的正方形，計算出了這個(ge) 正方形的周長。然後，他又畫了一個(ge) 邊長與(yu) 這個(ge) 圓相接的正方形，求出這個(ge) 正方形的周長。他的結論是，圓的周長必須在這兩(liang) 個(ge) 正方形的周長之間。

然而，當他使用平方時，這兩(liang) 個(ge) 值之間的差相當大。所以，他畫了五邊形來計算圓周的上下界。他得到了一個(ge) 更小的範圍。在那之後，他不斷增加多邊形邊數。每增加一條，計算難度就增加很多。阿基米德得到了一個(ge) 96條邊的正多邊形。他當時發現π的下限和上限分別是3.1408和3.1429。

• 阿基米德計算π的方法。阿基米德用一個96邊的多邊形計算π，精度達到了萬分之一。

阿基米德的方法需要改進，因為(wei) 他的壽命不夠長，無法徒手計算出更精確的π。數學家們(men) 需要發現更有效的方法。

但一開始，人們(men) 用符號來表示數字。例如，假設你和你的鄰居一起有75匹馬，而你有35匹。你要計算出你的鄰居有多少匹馬。沒有代數，這個(ge) 計算要花很長時間。但在代數被發現之後，這就很簡單了。在這個(ge) 例子中，我們(men) 可以寫(xie) 75 = x + 35，其中x是你鄰居的馬的數量。寫(xie) 出這樣一個(ge) 方程，用變量代替數字，在古典世界是革命性的。

數學家們(men) 對代數的采用激發了一種全新的看待世界的方式。計算π的下一個(ge) 重大飛躍是微積分的發明。從(cong) 那以後，數學家們(men) 開始研究無窮級數。

無窮級數是一個(ge) 數列相加直到無窮的表達式，有時這些無窮級數收斂到一個(ge) 特定的值。

詹姆斯·格雷戈裏（James Gregory）找到了下麵π的方程。他用於(yu) 下麵的反正切函數，研究一個(ge) 無窮級數，得到π：

他把x = 1代入反切級數。然而，為(wei) 了得到π的10位，我們(men) 需要寫(xie) 出大約50億(yi) 個(ge) 分數來相加。

• 格雷戈裏級數是由格雷戈裏和萊布尼茨共同求出的π公式，將x=1代入萊布尼茨級數中得到。

另一位偉(wei) 大的數學家萊昂哈德·歐拉，他在28歲時發現了一個(ge) 更有效的π方程，他正式采用希臘字母“π”作為(wei) 數值的符號。歐拉的π方程計算一個(ge) 無窮級數的和。巴塞爾問題就是以他的名字命名的。

歐拉還用π寫(xie) 出了另一個(ge) 漂亮的方程，歐拉恒等式。

• 歐拉恒等式涉及數學中五個最常見的常數。

盡管虛數不是實數，π可以使虛數變為(wei) 實數。如果你用計算器算一下 i^i ，你會(hui) 得到
0.2078795763507619085469... 。這個(ge) 證明完全和π有關(guan) 。下麵，你可以看到為(wei) 什麽(me) i^i是實數。

多虧(kui) 了天才數學家拉馬努金對π的癡迷，才有了許多新的π計算公式。當他到達劍橋時，他帶來了一個(ge) 筆記本，裏麵有400頁尋找π的公式。

計算機發明之後，數學家們(men) 使用萊布尼茨、歐拉和拉馬努金的無窮級數來計算π的一萬(wan) 億(yi) 位小數。

π無處不在

• 螺旋圖是一種數學模式，不同的旋轉變量產生不同的結果。

π在宇宙中無處不在，在我們(men) 的生活中無處不在。它實際上已經融入了我們(men) 的宇宙、行星的軌道、電磁波、河流、極光的顏色、DNA的結構、吉薩大金字塔……

• π是三角正弦和餘弦函數的一部分。

因為(wei) 任何涉及到圓、球的東(dong) 西都是關(guan) 於(yu) π的，所以如果一個(ge) 科學家想要描述宇宙的結構或者找到行星之間的關(guan) 係，他就需要使用π。圓在自然界中隨處可見，無論是肥皂泡還是夜空中的月亮。這就解釋了為(wei) 什麽(me) 數學在所有科學領域都是必不可少的。π幫助我們(men) 看到隱藏在不同物理過程背後的數學思想。

圓周率和蜿蜒的河流之間的聯係

圓周率與(yu) 地球上的河流有著直接的關(guan) 係。為(wei) 了弄清楚這一點，我們(men) 需要用兩(liang) 種不同的方法測量河流的長度。

假設我們(men) 知道河流的起點和終點。首先，我們(men) 需要實際長度來看看這條河有多彎。換句話說，準確的長度就是你從(cong) 起點遊到終點所需要的距離。這整個(ge) 長度是L。第二，我們(men) 需要找到一條直線。換句話說，這一次，我們(men) 需要從(cong) 頭飛到尾。這條直線是小寫(xie) 的l。現在我們(men) 可以用L除以l來寫(xie) 出彎曲度的公式。彎曲度是一個(ge) 比率，用來衡量河流的彎曲程度。

• 這個比率經常收斂到（但很少超過）3.14，大致是pi。

這裏重要的是彎曲度是沒有限製的。這條河有時很彎。然而，漢斯·亨裏克·斯托倫(lun) （Hans-Henrik Stølum）證明了世界上河流的平均彎曲度是π。如果找到所有河流的彎曲度並取平均的彎曲度，你會(hui) 得到π。

關(guan) 於(yu) 彎曲度還有一個(ge) 有趣的事實。河流有時會(hui) 很彎曲。我們(men) 期望有很高的彎曲度。但是突然，這些河流變直了，使得彎曲度為(wei) π。因此，由於(yu) 流體(ti) 動力學的原因，很難找到一條河流的彎曲度等於(yu) 7。數學家們(men) 發現，最高的彎曲度在3.5左右，最低的彎曲度在2.7左右。

河流在一段時間後會(hui) 開始變得非常混亂(luan) 。然後他們(men) 突然又恢複正常了。在極彎處，河流經過彎點後截斷，又變直。這種現象被稱為(wei) 牛軛湖，它控製著河流的曲折。這就保證了一條圍繞π的河流的彎曲度。

太空中的π

在我們(men) 的宇宙中有一種固有的數學秩序。例如，要了解我們(men) 的太陽係，我們(men) 需要π。我們(men) 知道行星在它的主星前麵移動。光來自主星。為(wei) 了討論這個(ge) 光，我們(men) 需要知道主星有多大。換句話說，我們(men) 需要主恒星的表麵積。球體(ti) 的表麵積公式為(wei) 4πr^2，r為(wei) 恒星的半徑。行星的大小也有助於(yu) 科學家猜測它是否適合居住。

• 地球每繞太陽8圈，金星就繞太陽13圈。

另一個(ge) 展示π與(yu) 宇宙關(guan) 係的例子是靜電力，靜電力是兩(liang) 個(ge) 電荷之間的力。電子向各個(ge) 方向施加力，形成一個(ge) 球體(ti) 場。電子也在電場中相互作用。為(wei) 了找出這種相互作用，我們(men) 需要找到球的表麵積（π出現的地方）。

π和引力之間也有聯係。如果你看愛因斯坦的場方程，你可能會(hui) 注意到π也在那裏。

上麵的公式計算了大質量的物體(ti) ，如恒星和星係，如何通過它們(men) 的引力使空間和時間彎曲。愛因斯坦說，就像一個(ge) 球在床單上一樣，任何形式的動量和能量也可以彎曲它周圍的時空。

因此，π是宇宙和宇宙中所有物體(ti) 的引力、能量和動量的一部分。如果你取地球引力常數的平方根，幾乎得到π。我不認為(wei) 這是巧合。

• π是光波的一部分。波創建顏色。波產生的聲音。波創造運動。

在自然界中尋找

無窮級數不是找到π的唯一方法。你可以自己做一些很酷很有趣的實驗來估算π。其中一種叫做蒙特卡羅方法。

假設你在1x1網格上實驗。你在0和1之間生成一對來繪製坐標平麵上的點。你會(hui) 發現有些點到原點的距離小於(yu) 1，有些會(hui) 大於(yu) 1。在某個(ge) 點之後，你會(hui) 看到你得到1 / 4個(ge) 圓。如果你求出四分之一圓的麵積，它幾乎是π/4。

如果你不想編程，你可以隻用一支筆和一張紙來做。你隻需要畫一個(ge) 半徑為(wei) 1的圓，然後在圓周圍畫一個(ge) 正方形。正方形的麵積必須是4，因為(wei) 圓的直徑是2。現在，如果你拿起鉛筆，閉上眼睛，在紙上隨機畫很多次點，最終，你的點落在圓內(nei) 的百分比將接近π/4。

布馮的針

在沒有互聯網的時候，孩子們(men) 常玩在地上拋硬幣看硬幣是否越過一條線的遊戲。一位法國哲學家和數學家，喬(qiao) 治-路易斯·勒克萊爾，決(jue) 定測定硬幣越過一條線的概率。

他先把一根針扔在一張有橫線的紙上，然後確定針穿過紙上某條線的概率。然後他用很多針做了很多次實驗。他得到了一個(ge) 顯著的結果。概率與(yu) π值直接相關(guan) ，因為(wei) 2乘以他投下的針數除以穿過一條線的針數幾乎等於(yu) π。

意大利數學家勒克萊爾，馬裏奧·拉紮裏尼，為(wei) 了做這個(ge) 實驗，扔了近4000次針。他精確地得到了π。他算到了π的小數點後六位。

π的自行車

2017年，馬汀·庫曼（Martijn Koomen）和塔達斯·馬克西莫娃（Tadas Maksimovas）設計了一款功能齊全的圓周率自行車，其形狀是數學符號π。

π日

經過長期對π的研究，人們(men) 決(jue) 定在3月14日舉(ju) 行一次正式的慶祝活動，慶祝π的誕生。自1988年以來，人們(men) 在3月14日慶祝這個(ge) 神奇的常量。愛因斯坦生於(yu) 1879年3月14日圓周率日，這是一個(ge) 有趣的巧合。愛因斯坦還在圓周率日發表了他的廣義(yi) 相對論。

總而言之，數學是一種銘刻在人類大腦中的語言。肯尼迪知道月球並不是無限遙遠的，他做到了。我相信有一天偉(wei) 大的數學家會(hui) 揭示π的所有秘密。



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