蒙娜麗(li) 莎的微笑、瑪麗(li) ·盧·雷頓的奧林匹克跳馬、瑪麗(li) 亞(ya) ·凱莉的音樂(le) 風格。所有這些都被認為(wei) 是完美的。數字6和28也是！

在藝術和運動方麵，完美在於(yu) 觀察者的眼光。但對於(yu) 數字來說，完美是有數學定義(yi) 的。“完全數（完美數、完備數）”等於(yu) 它所有的真因子（即除了自身以外的約數）的和（即因子函數）。例如，6 = 3 + 2 + 1；28 = 14 + 7 + 4 + 2 + 1。它們(men) 提供了一些不可抗拒的東(dong) 西：一種完美的神秘。

歐幾裏得在2000多年前就提出了完美數的基礎星空体育官网入口网站，他知道最初的四個(ge) 完美數是6，28，496和8128。從(cong) 那時起，人們(men) 發現了更多的完美數。但奇怪的是，它們(men) 都是偶數。沒有人能找到一個(ge) 奇完美數，經過幾千年不成功的探索，人們(men) 可能會(hui) 得出這樣的結論：奇完美數不存在。但數學家們(men) 也無法證明這一點。為(wei) 什麽(me) 我們(men) 知道那麽(me) 多關(guan) 於(yu) 偶數的星空体育官网入口网站卻不能回答關(guan) 於(yu) 奇數的最簡單的問題呢？現代數學家是如何試圖解決(jue) 這個(ge) 古老的問題的呢？

我們(men) 對數學完美的探索始於(yu) 因數（約數）。我們(men) 知道6是12的約數，因為(wei) 12/6 = 2，我們(men) 知道25是100的約數，因為(wei) 100/25 = 4。正如我們(men) 所說的，我們(men) 知道一個(ge) 數等於(yu) 它的因數的和（除它本身外）。我們(men) 也可以把一個(ge) 數定義(yi) 為(wei) 這樣的完全數，即它的所有因數（真因數和非真因數）之和是這個(ge) 數的兩(liang) 倍。根據這個(ge) 定義(yi) ，我們(men) 可以看到28仍然是完美的：它的真約數是1、2、4、7和14，它的假約數是28，所有約數的總和，1 + 2 + 4 + 7 + 14 + 28，是56，也就是2 × 28。這對於(yu) 我們(men) 將要用完全數做的代數運算是很方便的，我們(men) 很快就會(hui) 看到。

完全數等於(yu) 它的因數之和，所以數學家們(men) 把它轉化成一個(ge) 函數來簡化問題。我們(men) 定義(yi) σ（n）為(wei) n的因數之和。我們(men) 已經知道σ（28）= 56。一些其他的例子是：σ（1） = 1， σ（6） = 1 + 2 + 3 + 6 = 12， σ（10） = 1 + 2 + 5 + 10 = 18。注意6是一個(ge) 完美數，因為(wei) σ（6） = 2 × 6，但1和10不是。正如我們(men) 將看到的，這個(ge) 函數σ有一些特殊的性質，非常適合研究完全數。

我們(men) 得到了完全數的基本定義(yi) 和一個(ge) 新的數學工具來幫助我們(men) 找到它們(men) 。我們(men) 應該從(cong) 哪裏開始尋找？我們(men) 將從(cong) 質數開始。

根據定義(yi) ，質數隻能被它自己和1整除。這使得計算質數的σ相當容易：σ（2） = 1 + 2 = 3， σ（3） = 1 + 3 = 4， σ（5） = 1 + 5 = 6，和σ（7） = 1 + 7 = 8。一般來說，對於(yu) 任何質數p， σ（p） = 1 + p。

質數是完美的嗎？σ（p） = 1 + p = 2p。一些代數星空体育官网入口网站告訴我們(men) ，當p = 1時是成立的，但根據定義(yi) ，1不是質數，所以質數都不是完美的。我們(men) 已經知道質數不可能是完美的。接下來呢？

質數的冪——像2^4、5^3或11^36這樣的數字——是一個(ge) 很好的方法，因為(wei) 它們(men) 的因數很容易組織。考慮一個(ge) 質數冪，比如16或2^4。2^4的約數是2^0到2^4的冪：2^0 = 1，2^1 = 2，2^2 = 4，2^3 = 8，2^4 = 16。所以σ（24）可以這樣計算：

一般來說，對於(yu) 任意質數p數，σ（p^n）為(wei) ：

這就是所謂的幾何級數，幾何級數和有一個(ge) 很好的公式：

由於(yu) 幾何級數公式，我們(men) 不需要列出p^n的所有因子來計算σ（p^n）。我們(men) 可以用這個(ge) 公式：

例如，我們(men) 已經算過：

我們(men) 也可以計算其他質數冪的σ，如：

注意，這些素數冪均不滿足完美數的條件：σ（2^4）≠2 × 2^4、σ（3^3）≠2 × 3^3、σ（11^2）≠2 × 11^2。事為(wei) 了得到一個(ge) 完美的數字，需要σ（(p^n）= 2p^n，這意味著：

我們(men) 可以從(cong) 方程兩(liang) 邊減去p^n得到：

現在，我們(men) 在等式左邊運用等比級數求和公式：

我們(men) 得到：

它不等於(yu) p^n。因此，質數的冪也都不是完美的。

沒有完美質數，也沒有完美質數冪。那什麽(me) 是完美的？我們(men) 知道28是完美的，它是兩(liang) 個(ge) 素數冪的乘積，28 = 2^2 × 7。

任何不是素數或素數冪的數都可以寫(xie) 成不同素數冪的乘積。這些因式分解，加上σ函數的一個(ge) 特殊性質，可以幫助我們(men) 確定一個(ge) 數是否完美。

我們(men) 已經知道σ（28） = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 + 28，但是讓我們(men) 仔細看看這個(ge) 和。注意，最後三個(ge) 數字都是7的倍數：

我們(men) 可以提出7來揭示一些隱藏的結構：

用一些更聰明的因式分解和分配律，我們(men) 可以寫(xie) 出：

這並沒有告訴我們(men) 新的東(dong) 西，隻是證明了28是完美的。但是在這個(ge) 乘法裏麵隱藏著一些重要的東(dong) 西：

括號中的表達式看起來很熟悉：1 + 2^1 + 2^2 = σ（2^2）， 1 + 7^1 = σ（7^1）。這意味著：

要計算σ（28） = σ（2^2×7），我們(men) 實際上可以計算σ（2^2）和σ（7）並將它們(men) 相乘。這是令人驚訝的，而且通常是正確的：任何時候把一個(ge) 數字分解成這樣的質數，都可以使用這個(ge) 快捷方式來計算σ。例如，由於(yu) 100 = 2^2×5^2，我們(men) 可以這樣計算σ（100）：

這比列出100的9個(ge) 因數並把它們(men) 相加要簡單一些。

為(wei) 什麽(me) 會(hui) 這樣呢？一個(ge) 數的因數來自它的質因數。再考慮28，它是2^2和7的乘積，然後考慮下麵的乘法表：

上邊是能整除28的2的冪，下邊是能整除28的7的冪。注意當我們(men) 填乘法表的時候會(hui) 發生什麽(me) 。

得到28的所有因數。因為(wei) 28的每一個(ge) 因數都是2^2和7的因數的組合，也就是28的因數分解中出現的質數冪。

現在將乘法表與(yu) 表達式進行比較：

用分配律：

換句話說，（1 + 2 + 4）（ 1 + 7 ）正好是σ（28）。但是（1 + 2 + 4）（ 1 + 7 ）也是σ（22）σ（7）。所以σ（22）σ（7） = σ（28）這個(ge) 例子演示了關(guan) 於(yu) σ的一個(ge) 非常有用的事實：在數論語言中，這個(ge) 函數是“乘法的”。這意味著當數值a和b互質時，σ（ab） = σ（a）σ（b），這意味著它們(men) 沒有共同的因數。

這是σ的特殊性質，很適合我們(men) 研究完全數。兩(liang) 千年前，歐幾裏得利用這一事實，創造了一個(ge) 尋找完美數的公式。在此過程中，他邁出了確定每一個(ge) 完美數字的第一步。我們(men) 來看看他是怎麽(me) 做到的。

首先，注意到對於(yu) 2的任意次冪：

這是我們(men) 先前討論過的幾何級數公式的結果。現在考慮下麵的思想實驗：如果2k+1 - 1是質數會(hui) 怎樣？

因為(wei) 對於(yu) 任何質數，σ（p） = 1 + p，我們(men) 知道σ（2^(k+1) - 1）= 1 + 2^（k+1） - 1 = 2^（k+1）。注意2^（k+1）正好是2^k的兩(liang) 倍。在數字2^k和2^（k+1） - 1之間，有以下關(guan) 係：

並且：

歐幾裏得發現了一個(ge) 利用這些關(guan) 係的聰明方法，他把這兩(liang) 個(ge) 數放在一起，使M = 2^k × （2^（k+1） - 1），隻要（2^（k+1） - 1）是素數，這個(ge) 數就是完美的。為(wei) 了更清楚地看到這一點，我們(men) 將計算σ（M）並表明它等於(yu) 2M。

首先，注意2^（k+1） - 1比偶數小1，所以它一定是奇數。這意味著2^（k+1） - 1不能被2整除。但是2^k隻能被2的冪整除。所以2^k和2^（k+1） - 1沒有公因數，因此它們(men) 是互質的。這允許我們(men) 使用σ的乘法性質：

我們(men) 已經知道σ（2^k）= 2^（k+1） - 1和σ（2^（k+1） - 1）= 2^（k+1） = 2 × 2^k，所以我們(men) 可以得到σ（M）：

所以M = 2^k × （2^（k+1） - 1）是完美的。

記住，這是基於(yu) 2^（k+1） - 1是質數的假設。這些數字被稱為(wei) 梅森素數，你可能聽說過它們(men) ，因為(wei) 有了“互聯網梅森素數搜索”（GIMPS），這是一個(ge) 在線協作計算項目，旨在尋找巨大的梅森素數。多虧(kui) 了歐幾裏得的證明，任何時候一個(ge) 新的梅森素數被發現，意味著一個(ge) 新的完美數也被發現。

例如，2^5-1 = 31是一個(ge) 梅森素數，所以2^4（2^5-1）= 16 × 31 = 486是一個(ge) 完美數。此外，2^2 - 1 = 3是一個(ge) 梅森素數，所以2^1（2^2 - 1）= 2 × 3 = 6是完美的。而2^3 - 1 = 7是一個(ge) 梅森素數，所以2^2（2^3 - 1）= 4 × 7 = 28是完美的。

你可能已經注意到所有這些完美數都是偶數。這是有意義(yi) 的，因為(wei) 隻要k > 0，2^k × （2^（k+1） - 1）就是偶數。

你可能也已經注意到，到目前為(wei) 止我們(men) 討論的所有完美數似乎都涉及梅森素數。這並非巧合，2000年前歐幾裏得證明了這個(ge) 公式可以產(chan) 生完美數，而萊昂哈德·歐拉證明了這是得到完美數的唯一方法。但是奇完全數是什麽(me) 樣子的問題（如果它們(men) 存在的話）。

盡管數學家們(men) 找不到一個(ge) 完美數，但他們(men) 有很多關(guan) 於(yu) 假設的奇完美數可能是什麽(me) 樣子的信息。它不能被105整除。它必須至少有9個(ge) 不同的質因數，第二大的必須大於(yu) 10,000。除以12餘(yu) 數是1除以36餘(yu) 數是9。

要證明一些甚至可能不存在的數字的結果似乎很奇怪。但每一條新規則都會(hui) 縮小搜索範圍。如果幸運的話，數學家們(men) 可能會(hui) 證明奇完美數必須滿足兩(liang) 個(ge) 不相容的條件，這就能一了百了地證明奇完美數不存在。

為(wei) 了尋找不相容的標準，數學家們(men) 甚至開始研究那些不太完美的數字。例如60，它是3、4和5的乘積，可以被認為(wei) 是“完美的欺騙”：如果你假設它的一個(ge) 因數4是一個(ge) 素數，那麽(me) 我們(men) 為(wei) 根據σ公式，有：

如果σ（60）等於(yu) 120，那麽(me) 60是完美的。當然，σ（60）實際上並不等於(yu) 120，但如果我們(men) 假設4是一個(ge) 質數，它看起來會(hui) 等於(yu) 120。這就是它的搞笑之處。



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