一股黏度達到水的20倍的矽油垂直落在水平麵上。我們(men) 可以觀察到圓形的水躍。（圖片來源：Alexis Duchesne）

當水流流入水槽，我們(men) 很容易觀察到，水流周圍會(hui) 形成一個(ge) 圓環狀結構——環形水躍。出人意料的是，500年來，這個(ge) 看似簡單的現象從(cong) 未得到一個(ge) 完整的解釋。直到最近，科學家終於(yu) 得以建立水躍現象的模型。更加令人驚訝的是，除了幫助理解其流體(ti) 力學過程，環形水躍還能讓我們(men) 更好地認識超新星爆發等天文學現象。

撰文 | 亞(ya) 曆克西·杜歇納（Alexis Duchesne）

翻譯 | 戚譯引

你有沒有試過在洗漱完畢之後，讓水龍頭再開一會(hui) 兒(er) ？這當然不太環保，卻能讓你觀察到一個(ge) 有趣的現象：水流抵達水槽底部並擴散開來，在碰撞點周圍形成一道薄薄的水膜。隨後由於(yu) 這種徑向擴散，加上水與(yu) 水槽表麵之間的摩擦，水膜的擴散越來越慢。但出人意料的是，一種劇烈的轉變發生了：當水膜很薄而且速度很大的時候，它的厚度將驟然增加500倍，速度也下降至1/500。水流的這種狀態轉變體(ti) 現為(wei) 一道“水牆”，即由液體(ti) 構成的環形。這就是環形水躍現象。

即使我們(men) 很熟悉這一現象的存在，水躍的出現仍然令人驚奇，因為(wei) 它違背了從(cong) 亞(ya) 裏士多德到牛頓的一代代物理學家和哲學家的認知，而萊布尼茨甚至將這一認知提煉成一條公理，即“自然界無跳躍”（Natura non facit saltus）。這一原則又叫連續性原理，它假設事物通常以循序漸進的方式發展，十分符合直覺，而且往往是有價(jia) 值的。但是在水槽裏，我們(men) 看見的就是一個(ge) 跳躍現象，而不是液麵的連續抬升。

很長時間以來，這道水牆似乎沒有過多地困擾那些學者。直到16世紀，萊昂納多·達·芬奇（Léonard de Vinci）才第一次對水躍進行了描述。他在筆記中寫(xie) 道：“圓形水管流出的水垂直落到一個(ge) 平坦的表麵上，會(hui) 在撞擊點周圍形成一道圓形的波紋；在圓圈內(nei) 部，水的流動很快，在撞擊點周圍形成一道薄薄的水膜，然後一躍而起產(chan) 生了浪，外部的水又試圖回到撞擊點。”

用現代的語言來說，達·芬奇所描述的水躍就像一道衝(chong) 擊波。在物理學家看來，這一現象源於(yu) 流體(ti) 擴散速度和重力波之間的競爭(zheng) 。重力波是在流體(ti) 表麵擴散的波紋，重力和流體(ti) 的高度決(jue) 定了波長和擴散速度。

在水躍的內(nei) 部區域（靠近水流處），重力波擴散的速度小於(yu) 流體(ti) 擴散的速度，因此被水流帶著向前傳(chuan) 播；而在外部區域，水的高度增加，流速減緩，重力波擴散的速度大於(yu) 流體(ti) 的速度。受到外部擾動或反射，例如水流遇到水槽邊沿的時候，重力波的影響變得可以忽略不計。因此，水躍被視為(wei) 這樣一個(ge) 區域：從(cong) 邊緣地帶（水槽邊或水膜的終點）釋放的重力波，即抬高流體(ti) 的力量，再也無法回到峰值，因為(wei) 重力波“遇到”了一股流速過高的流體(ti) ，無法繼續傳(chuan) 播下去。

圖片展示了水槽裏的環形水躍

在500年後的今天，我們(men) 能不能斷言水躍問題得到了解答？如今，仍然沒有一個(ge) 得到一致認可的模型，能夠基於(yu) 係統參數（流量、流體(ti) 性質、液柱直徑等）預測一些基本性質，例如水躍的半徑。但是在這段時期，科學家們(men) 取得了一些重要的進展。我們(men) 對這種現象的發生機製和重要性有了更深刻的理解，水躍現象甚至成為(wei) 了模擬其他一些現象的建模工具。
 

巨浪：環形水躍的“大哥”

在達·芬奇之後的300多年間，學者們(men) 似乎對環形水躍現象的機製不太感興(xing) 趣。我們(men) 沒有發現相關(guan) 的記載，直到19世紀，法國醫師、物理學家菲利克斯·薩瓦爾（Félix Savart）才觀察並描繪了這一現象，但他沒有嚐試進行深入的研究。學界對水躍重新產(chan) 生興(xing) 趣，要歸功於(yu) 18世紀之後的大量關(guan) 於(yu) 巨浪的研究，這一現象算得上環形水躍的“大哥”。

這種類型的水躍現象廣泛出現在江河中，其特征是水流中掀起一股或高或低的浪。這種浪潮將水流分成兩(liang) 個(ge) 區域，一個(ge) 是位於(yu) 高處，水流湍急的區域，水的流速大於(yu) 重力波傳(chuan) 播的速度；另一個(ge) 是低處的水流平靜的區域，重力波傳(chuan) 播的速度大於(yu) 水流的速度，因此更容易將水流抬升到高處。

巨浪指的是水流中發生的水躍，例如法國聖帕爾東(dong) 地區附近多爾多涅河穀中的浪。

當潮汐發生時，河口處水位的急劇變化就引發了巨浪。潮汐越是迅疾、強勁，浪也就越大。潮汐產(chan) 生的重力波傳(chuan) 播到高處，遇到湍急的水流，產(chan) 生了衝(chong) 擊波。

通過改變地形和控製河流流量，我們(men) 可以調控巨浪的強度，甚至阻止其形成。如果說巨浪可以被視為(wei) 移動的水躍，我們(men) 也能在自然界中觀察到靜態的水躍，例如瀑布落下，或是大壩泄洪的時候。

自從(cong) 18世紀末起，工程師和物理學家對巨浪產(chan) 生了興(xing) 趣。意大利工程師喬(qiao) 治·比多內(nei) （Giorgio Bidone）將水躍視為(wei) 一種抬升灌溉用水的方式。

繼比多內(nei) 之後，法國水利學家讓-巴蒂斯特·貝朗日（Jean-Baptiste Bélanger）成了第一個(ge) 對撞擊點進行理論分析的人。1846年，貝朗日發表了一個(ge) 方程。這個(ge) 方程建立在流體(ti) 流動過程中的動量守恒和水躍中不同部分的流量守恒之上。通過這種方式，他提出了第一個(ge) “衝(chong) 擊條件”，調和了上遊和下遊的數學描述。在同一時期，法國水利學家亨利·達西（Henry Darcy）和亨利·巴讚（Henry Bazin）利用在水渠進行的實驗，證實了衝(chong) 擊理論。如今這一理論仍然是水躍建模的根基，無論水躍發生在河流還是水槽中。

英國物理學家瑞利男爵（Lord Rayleigh）首先將運河中的水躍現象和水槽中圓形的水躍聯係起來。1914年，他重複了貝朗日提出的衝(chong) 擊條件，並將其應用於(yu) 圓形水躍。在這種情況下，衝(chong) 擊條件再次得到了實驗驗證。但是在某些情況下，理論預測的水躍半徑卻比實際觀察到的大了數十倍。
 

慣性流與(yu) 層流

物理學家發現，必須考慮水躍內(nei) 部的流體(ti) 黏度，才能更準確地描述流體(ti) 的運動，計算衝(chong) 擊半徑。摩擦力越大，流體(ti) 的運動就越困難，也就是說黏度更大。當我們(men) 分別在蜂蜜、油和水中攪動勺子，就能感受到這種差異。油的黏度大約是水的100倍，而蜂蜜的黏度大約是油的100倍。

在流體(ti) 運動中，我們(men) 可以觀察到慣性流，這時流體(ti) 黏度可忽略，機械能守恒；另一種情況是層流，這其中黏度的作用要大得多。在後一種情況下，係統機械能中有不可忽略的一部分轉化為(wei) 熱能。回到流體(ti) 中攪動勺子那個(ge) 案例，當你在蜂蜜中攪動勺子的時候，僅(jin) 有勺子周圍的流體(ti) 會(hui) 流動，你注入係統的能量幾乎立即以熱量的形式耗散。這就是粘稠流體(ti) 的流動。

而當你在水中攪動勺子的時候，就得到了慣性流。最終整個(ge) 流體(ti) 都會(hui) 運動起來，直到你投入的能量在邊界層處耗散。

對於(yu) 在固定固體(ti) 平麵上（如水流周圍的水槽表麵）的慣性流，與(yu) 平麵表麵接觸的流體(ti) 粒子速度為(wei) 零。隨著與(yu) 平麵距離的增加，流體(ti) 粒子的速度急速上升。在平麵上方很薄的液麵處，流體(ti) 粒子的速度與(yu) 流體(ti) 其他部分的速度基本相同，這裏被定義(yi) 為(wei) 邊界層。

邊界層的存在完善了水躍模型，因為(wei) 在水流剛剛落下的地方，流體(ti) 基本是慣性流動；隨後邊界層逐漸形成，最終隨著我們(men) 遠離水流撞擊點，邊界層完全延伸開來，形成一個(ge) 較薄的水層。而在邊界層下方，流體(ti) 速度很小，黏度占據主導地位，這一區域中便會(hui) 出現層流。而由於(yu) 這層流體(ti) 中的摩擦力較大，水流越來越緩慢，使得水層最終變得更厚，吞沒了邊界層。由於(yu) 此時黏度可以忽略，邊界層消失，流體(ti) 不斷變薄，因為(wei) 它會(hui) 保持速度不變並朝各個(ge) 方向徑向展開。

因此，當流體(ti) 黏度較大的時候，我們(men) 會(hui) 觀察到較小的水躍半徑。瑞利男爵的模型並未考慮這種效應。1948年，日本物理學家穀一郎（Itiro Tani）首次對這種黏稠的邊界層進行了建模。

接下來，英國物理學家埃裏克·沃森（Eric Watson）在1964年提出了水躍研究中最完善的理論之一。這一模型的獨創性在於(yu) ，它將內(nei) 部區域（水牆之前）劃分成許多個(ge) 不同部分（水流撞擊部分、邊界層發展部分，以及邊界層全麵入侵液麵的區域）。他的方程很好地描述了水膜的厚度隨注入水流的距離變化的函數關(guan) 係。

但這一理論仍然不完善，它僅(jin) 僅(jin) 描述了水躍內(nei) 部的情形，而沒有提供水躍外部的信息。為(wei) 了計算半徑，我們(men) 必須將滿足“貝朗日條件”的衝(chong) 擊和模型聯係起來，還要知道在緊鄰水躍發生處的液麵高度。但是由於(yu) 測量這一高度比直接測量水躍半徑更加困難，這個(ge) 模型在預測方麵的作用很小。
 

尋找完善的模型

1993年，丹麥科技大學的托馬斯·玻爾（Tomas Bohr）和同事們(men) 終於(yu) 對水躍外部區域進行了建模。玻爾的父親(qin) 和祖父都是諾貝爾物理學獎得主。玻爾等人借助“貝朗日條件”將水躍的內(nei) 部和外部區域聯係起來，用同一個(ge) 方程（稱為(wei) “潤滑方程”）對這兩(liang) 個(ge) 區域進行建模，完善地描述了問題。借助這些方程的一個(ge) 數值解，他們(men) 得到了第一個(ge) 理論定律，能夠根據係統參數（流體(ti) 的流量、黏度和密度等）預測水躍半徑。

因此，科學家花了超過500年，才發展出第一個(ge) 令人滿意的水躍模型。這個(ge) 進展可以說是巨大的，盡管我們(men) 僅(jin) 僅(jin) “解決(jue) ”了流體(ti) 垂直落到平麵上然後自由流動這一簡單的情況。我們(men) 還無法研究流體(ti) 傾(qing) 斜流下，或流到像水槽那樣具有邊沿的平麵上的情況。實際上，我們(men) 才剛剛開始理解這一現象，還未觸及問題的複雜之處……

尤其是，我們(men) 還沒有在物理學層麵理解水牆為(wei) 什麽(me) 會(hui) 產(chan) 生。托馬斯·玻爾的流體(ti) 力學模型使用描述內(nei) 部和外部區域特征的假設預測水躍的位置，證明在某個(ge) 特定的半徑（即我們(men) 觀察到水躍的地方），這兩(liang) 個(ge) 區域的方程的數學解就不再是實數。換言之，模型預測內(nei) 部區域到外部區域之間的轉變必然發生，但是它完全沒有解釋轉變的性質。如果這兩(liang) 個(ge) 區域之間用一條緩和的斜坡連接，與(yu) 模型也是兼容的。

圖片依次為(wei) 流速較快且液麵較薄的內(nei) 部區域、水躍、流速較慢且液麵較高的外部區域。

模型在描述上的限製和解釋能力的缺失，已經體(ti) 現在文章開頭提到的波動力學方法對重力波向水流高處傳(chuan) 播的描述中：在這一情況下，我們(men) 假設波在水牆上傳(chuan) 播的過程中發生了狀態轉變，但這堵牆的形狀並不是固定的，尤其是高度。貝朗日條件描述了這種高度的改變，但它的作用僅(jin) 限於(yu) 描述，無法進行預測。

一些科學家認為(wei) ，液體(ti) 牆是因為(wei) 邊界層分離而構成的。還有人認為(wei) ，我們(men) 可以用不穩定性為(wei) 水牆建模：在內(nei) 部區域，超過了某個(ge) 特定半徑之後，重力不再可忽略。這時水膜逐漸增厚，流體(ti) 速度減緩，表麵輕微向上傾(qing) 斜。重力對這一表麵施加了外部限製，約束了流動。流速繼續減緩，表麵繼續向上延伸，重力的影響也在不斷增加，以此類推。結果就是在這種不穩定機製的作用下，我們(men) 得到了一道幾乎豎直的坡，也就是水躍。

形態各異的水躍

2014年，我和位於(yu) 巴黎的物質與(yu) 複雜係統實驗室的呂克·勒邦（Luc Lebon）和勞倫(lun) ·利瑪（Laurent Limat）一同開展實驗，為(wei) 水躍的理論解釋提供了重要線索。通過精確測量緊鄰水躍發生處的液麵高度，我們(men) 證明了對所有的水躍，這一區域的弗勞德數（慣性和重力影響的比值）是恒定的。

對於(yu) 這個(ge) 普遍性質，目前還不存在理論解釋，但它應該和前麵提過的重力不穩定機製是相容的。這並不令人驚訝，因為(wei) 水躍正發生在重力作用開始變得不可忽略的地方。弗勞德數描述重力和慣性的局域影響的比值，對於(yu) 所有的係統，它在這個(ge) 點上的數值完全相同，與(yu) 係統性質無關(guan) 。並且，由於(yu) 衝(chong) 擊條件，我們(men) 會(hui) 在水躍剛剛發生的地方得到一個(ge) “通用”的弗勞德數。
 

表麵張力的作用

此外，結合對水躍外部區域的精細建模，我們(men) 得以精確計算水躍的位置。最終，我們(men) 不需要對內(nei) 部區域的水流進行任何假設，就得到了這個(ge) 結果。多個(ge) 理論物理學團隊正在研究弗勞德數是否為(wei) 恒定的，並嚐試在方程中重現這一實驗觀察結果。因此，我們(men) 可以期待在未來幾年中看到關(guan) 於(yu) 這個(ge) 課題的重大突破。

如果說黏度發揮了重要作用，那麽(me) 另一個(ge) 在這個(ge) 尺度上發揮重要作用的物理量——表麵張力呢？在流體(ti) 的表麵，例如水和空氣之間的界麵，表層水分子之間的結合力和內(nei) 部的情況不同，它傾(qing) 向於(yu) 最大程度地減小界麵的麵積。舉(ju) 例來說，這解釋了雨滴為(wei) 什麽(me) 接近球形。

在大多數現有的水躍模型中，表麵張力完全缺席。然而到了2018年，劍橋大學的拉傑什·巴加特（Rajesh Bhagat）和保爾·林登（Paul Linden）提出了一個(ge) 新的模型，表明表麵張力在水躍的形成過程中發揮了關(guan) 鍵作用。這個(ge) 結果看起來很好地調和了理論和實驗。但在2019年，我和玻爾的團隊一同提出，他們(men) 的模型可能建立在一個(ge) 不可靠的假設之上。表麵張力究竟扮演了怎樣的角色？看起來我們(men) 離解決(jue) 這個(ge) 問題還很遙遠。

最後這個(ge) 轉折正體(ti) 現了這樣一個(ge) 事實：這場持久的激烈爭(zheng) 論，隻為(wei) 解答這個(ge) 看起來如此平凡又簡單的問題。你洗碗的時候也可以看一看，你家水槽裏的那個(ge) 小圓圈到底有多大？
 

從(cong) 水槽到中子星

盡管這個(ge) 現象並不起眼，它卻讓我們(men) 得以深入理解那些和水躍毫無關(guan) 係，尺度也要大上許多的事物。在天體(ti) 物理學領域，我們(men) 將水躍現象應用到尺度要大上百萬(wan) 倍的現象中。2012年，法國原子能和替代能源委員（CEA）薩克雷研究中心的提耶利·弗格利佐（Thierry Foglizzo）和同事們(men) 提出，可以借助對水躍現象的模擬，來研究超新星的動態。

超新星指恒星生命結束時內(nei) 核發生的爆炸。這一過程將形成中子星或黑洞，而星體(ti) 外層被劇烈噴射到星際空間中。針對該天體(ti) 物理現象的數值模擬證明，恒星爆炸過程會(hui) 導致不對稱，這是由爆炸的氣體(ti) 和在超新星爆發前的衝(chong) 擊波之間的不平衡產(chan) 生的。為(wei) 了在實驗室尺度模擬這個(ge) 現象，弗格利佐和團隊提出了一個(ge) 天才的設想——“反向環形水躍”。

在具備雙曲麵表麵的圓形水槽裏，液體(ti) 從(cong) 邊沿注入，形成薄薄的一層，流向中間的排液孔。這時，水躍就形成了。朝著中央排液管流動的液體(ti) 形成了一個(ge) 受重力支配的區域。同時，雙曲線形狀模擬了恒星引力勢能的分布。水躍就如同恒星中的衝(chong) 擊波，流動的液體(ti) 對應爆炸的氣體(ti) 。盡管水躍一開始是對稱的，但它會(hui) 產(chan) 生不對稱性，最終使得自身整體(ti) 朝一個(ge) 方向轉動，而內(nei) 部區域則朝另一個(ge) 方向轉動。這些研究工作證實了此前在數值模擬中觀察到的不穩定性。

流體(ti) 力學方程和引力定律之間存在強大的數學聯係。1981年，加拿大不列顛哥倫(lun) 比亞(ya) 大學的威廉·安魯（William Unruh）提出假設：流體(ti) 力學係統可以模擬再現黑洞的某些特性，即我們(men) 所說的聲學黑洞。

更準確地說，水躍或許可以作為(wei) “白洞”的模型，即時間箭頭相反的黑洞。實際上，正如沒有任何物質能夠進入白洞一樣，重力波也無法在水躍內(nei) 部區域傳(chuan) 播。一些研究者正在研究如何用水躍進行這種模擬，一個(ge) 重要目的是為(wei) 了檢驗霍金輻射的形成。

水躍已經成為(wei) 研究那些幾乎無法觸及的現象（例如超新星和黑洞）的工具。但其他的應用方向也正在研究之中，尤其是模擬混沌條件下的動態係統。對於(yu) 一個(ge) 誕生於(yu) 簡單的水槽中的現象，這還真不錯！


關(guan) 注【深圳科普】微信公眾(zhong) 號，在對話框：
回複【最新活動】，了解近期科普活動
回複【科普行】，了解最新深圳科普行活動
回複【研學營】，了解最新科普研學營
回複【科普課堂】，了解最新科普課堂
回複【科普書(shu) 籍】，了解最新科普書(shu) 籍
回複【團體(ti) 定製】，了解最新團體(ti) 定製活動
回複【科普基地】，了解深圳科普基地詳情
回複【觀鳥星空体育官网入口网站】，學習(xi) 觀鳥相關(guan) 科普星空体育官网入口网站
回複【博物學院】，了解更多博物學院活動詳情