數字是很奇妙的存在，它們(men) 不僅(jin) 被用作計算，某些數字本身就隱藏著很多特別的屬性。

　　如果一個(ge) 數恰好等於(yu) 它的真因子（又叫“真因數”，即除了自身以外的約數)之和，則稱該數為(wei) 完全數，又稱完美數或完備數。比如，6的約數為(wei) 1、2、3、6，其真因子即為(wei) 1、2、3，三者相加正好等於(yu) 6，所以說6就是一個(ge) 完全數。

　　最早研究完全數的是公元前6世紀的畢達哥拉斯，他發現了6和28的數字特性——兩(liang) 者都是完全數，並且他認為(wei) 6這一完全數象征著“完滿的婚姻、健康和美麗(li) ”。

　　除了完全數，根據自然數與(yu) 其真因數之和的大小關(guan) 係，還有盈數和虧(kui) 數。以自然數“4”為(wei) 例，它的真因數為(wei) 1、2,兩(liang) 者相加等於(yu) 3，小於(yu) 它本身，這樣的自然數叫做虧(kui) 數。再以自然數“12”為(wei) 例，它的真因數為(wei) 1、2、3、4、6，相加之和等於(yu) 16，大於(yu) 它本身，這樣的自然數叫做盈數。通過研究其規律，人們(men) 發現一個(ge) 完全數的倍數一定是盈數，一個(ge) 完全數的因子一定是虧(kui) 數。

　　完全數在自然數中的占比較低，因此吸引了無數人加入到尋找完全數的行列。通過借助計算機，人們(men) 逐漸發現了越來越多的完全數，最大的一個(ge) 在2013年被發現，位數高達4850340位。

　　數字6是被數學家發現的第一個(ge) 完全數，第二個(ge) 至第四個(ge) 被發現的完全數依次為(wei) 28、496、8128。這些數具有以下特點：

　　6=2×3=2×(2²-1)

　　28=4×7=2²×(2³-1)

　　496=16×31=2⁴×(2⁵-1)

　　8128=64×127=2⁶×(2⁷-1)

　　由此出現了兩(liang) 個(ge) 猜測：在n為(wei) 質數時，所有2^n-1(2ⁿ-1)形式的數都是完全數嗎？所有偶完全數都屬於(yu) 2^n-1(2ⁿ-1)這種形式嗎？

　　這兩(liang) 個(ge) 猜想得到了數學家的證實。最早研究了2^n-1型的質數問題的是法國數學家梅森，因此這類數被稱為(wei) 梅森數，其中的質數n被稱為(wei) 梅森質數。梅森的研究表明，一個(ge) 梅森質數對應一個(ge) 偶完全數。目前通過計算機共發現了30多個(ge) 梅森質數，但究竟還有多少，仍是一個(ge) 未解之謎。對於(yu) 是否存在奇完全數，目前尚未有結論，但數學家們(men) 已經證明：若奇完全數確實存在，這個(ge) 數一定大於(yu) 10⁵⁰。

　　完全數是自然數中非常具有趣味性的一係列數字，相信未來會(hui) 通過更加精準、先進的方式計算出更多的完全數。

　　本文由中國人民大學附屬中學第二分校一級教師秦薇進行科學性把關(guan) 。  

　　本作品為(wei) “科普中國-科學原理一點通”原創，轉載時務請注明出處。

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