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周愛輝團隊碳60 體(ti) 係電子結構自適應有限元計算結果，從(cong) 左至右分別為(wei) 體(ti) 係構型、密度圖及網格截麵圖。
發展精度可控的數值計算共性高效算法是充分發揮高性能計算機巨大能力、滿足大規模計算實際問題模擬精度和置信度要求的重要研究前沿。而在電子結構計算中，計算結果誤差的可靠估計方法研究是其核心科學問題之一。在重大研究計劃的支持下，我國科學家證明了他們(men) 所設計的基於(yu) 後驗誤差估計的“自適應有限元離散算法”具有最優(you) 收斂率與(yu) 最優(you) 複雜度，完成了國際首個(ge) 重特征值問題自適應有限元收斂率與(yu) 複雜度分析工作。
基於(yu) 密度泛函理論的第一原理電子結構計算是探索與(yu) 模擬物質微觀係統的物理規律的基本手段，在微觀世界的物理過程的研究與(yu) 理解和先進材料的結構性質的預測上發揮了重要作用。在第一原理電子結構計算中，自適應有限元算法設計及其收斂性和複雜性分析是當今計算數學國際前沿課題。
自上世紀七十年代以來，微分方程源問題相關(guan) 研究已取得非常深入係統的成果。但相比之下，特征值問題的自適應有限元算法工作不多。“重特征值問題的自適應有限元算法設計與(yu) 分析有本質困難，研究成果隻有很少幾項。”中科院數學與(yu) 係統科學研究院研究員周愛輝告訴《中國科學報》。
針對此難題，周愛輝課題組經過長時間研究，終於(yu) 在重特征值問題的自適應有限元算法設計與(yu) 分析方麵取得突破。具體(ti) 而言，他們(men) 針對一類二階橢圓算子重特征值問題，引入特征空間的距離來度量解的誤差，從(cong) 而構造了有限元離散的後驗誤差估計子。進一步，他們(men) 引進不可計算誤差估計子，並且證明了該不可計算誤差估計子與(yu) 所構造的後驗誤差估計子是等價(jia) 的。
利用這一等價(jia) 關(guan) 係，他們(men) 得到了後驗誤差估計子的上下界估計，給出了空間誤差的漸進壓縮性，進而證明了所設計的自適應有限元離散算法具有最優(you) 收斂率與(yu) 最優(you) 複雜度。隨後，他們(men) 團隊對Kohn-Sham 方程的有限元離散進行了後驗誤差分析，進而建立了相應的自適應有限元離散算法與(yu) 理論。
該項成果在國內(nei) 外科學家多項後繼工作中得到引用，被稱“引進‘創新性方法論’、提供‘關(guan) 鍵步驟’、做出了‘決(jue) 定性貢獻’”。該工作為(wei) 設計與(yu) 理解電子結構計算高效離散算法提供了基礎，為(wei) 我國開展二維材料和鈈表麵氧化問題等國家重大需求奠定了堅實基礎。
《中國科學報》 (2021-02-22 第4版 自然科學基金)關注【深圳科普】微信公眾號，在對話框：
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