研究人員直接實驗觀測到了一維能帶係統中的非阿貝爾拓撲荷。圖片來源：香港大學張霜等

香港科技大學教授陳子亭團隊領銜，香港大學教授張霜和國防科技大學副研究員楊鏢等研究人員合作，通過構建空間和時間反演對稱保護的傳(chuan) 輸線網絡，直接實驗觀測到了一維能帶係統中的非阿貝爾拓撲荷，並將其清晰地映射到本征坐標架球麵上。6月9日，相關(guan) 論文刊登於(yu) 《自然》。

研究人員表示，該係統與(yu) 阿貝爾群描述的拓撲係統不同的是，不同拓撲相之間的轉換的路徑不再是唯一的，這使得體(ti) —邊對應更為(wei) 複雜。該研究同時也提出了非阿貝尓體(ti) —邊對應，提供了邊界/疇壁態分布的全局視圖。

近年來，拓撲物理從(cong) 根本上變革了人們(men) 的思考方式，並有望支撐變革性技術發展，如無損能量、信息傳(chuan) 輸，拓撲激光與(yu) 雷達以及量子計算等。在不破壞某些對稱性或不關(guan) 閉禁帶的情況下，兩(liang) 個(ge) 拓撲上截然不同的相不能絕熱地相互轉換。其中的原因是每一個(ge) 拓撲相都由一個(ge) 類似於(yu) 陳數的全局不變量來描述。之前，該全局不變量通常是整數，即阿貝爾拓撲荷。阿貝爾群元素之間可以實現交換運算，比如，1+2=2＋1。另外，從(cong) 一個(ge) 拓撲態到另一個(ge) 態的轉變有一個(ge) 固定的路徑。比如，從(cong) 1到5需要依次經曆2，3和4。因而拓撲係統的邊界態的數目可以通過體(ti) —邊對應來描述，即由邊界兩(liang) 邊的體(ti) 態的拓撲不變量的差值決(jue) 定。

近年來，研究人員提出了非阿貝爾拓撲荷的概念——群元之間的乘法不可交換。當有多個(ge) （>1）帶隙纏結在一起時，係統具有豐(feng) 富的非交換的辮結構。盡管有許多潛在的應用，但到目前為(wei) 止還沒有在動量空間中直接觀測到非阿貝爾拓撲荷的實驗報道。

對於(yu) 一個(ge) 空間和時間反演對稱性保護的具有三條不簡並能帶的一維體(ti) 係，其拓撲分類是一個(ge) 四元數群，該群有五個(ge) 共軛類：(+1, ± i, ± j, ± k, -1)，其中有八個(ge) 元素，元素之間滿足i2 = j2 = k2 = ijk = -1。

具體(ti) 而言，當布洛赫動量k從(cong) -π連續變化到+π，其對應的三個(ge) 本征態也隨之轉動，三種不同顏色的本征態分別與(yu) 三條能帶相對應。以拓撲荷+i為(wei) 例，其第2,3兩(liang) 條能帶（本征態）旋轉了角度π，而第1條能帶沒有轉，可以看作是旋轉軸。當旋轉軸為(wei) 第2條和第3條能帶時，分別對應了+j和+k。而拓撲荷-i，-j，-k則對應旋轉角度是-π。另外，拓撲荷-1對應旋轉角度是2π，並且不同旋轉軸之間可以互相連續變換，所以它們(men) 屬於(yu) 同一個(ge) 拓撲分類；拓撲荷1則是拓撲平庸的情況，沒有發生旋轉。

研究人員隨後構造了一係列具有不同四元數拓撲荷的傳(chuan) 輸線網絡。實驗中，他們(men) 測量了每個(ge) 節點的電壓，經過傅裏葉變換，就得到了不同拓撲荷的布洛赫能帶以及本征態，觀察到了對應的本征態旋轉。

研究人員還測量了它們(men) 的邊界態，+i和+k分別對應一個(ge) 在上帶隙和下帶隙的邊界態，+j則是上下帶隙都有一個(ge) 邊界態。另外，-1的邊界態可以在兩(liang) 個(ge) 帶隙中的任何地方，數目為(wei) 2個(ge) 或者3個(ge) ，實驗上測的-1的邊界態隻是其中的一種情況。

該研究還發現，對於(yu) 非阿貝尓拓撲荷這樣的一維體(ti) 係，兩(liang) 個(ge) 係統之間的拓撲邊界態則是需要通過兩(liang) 個(ge) 拓撲荷之間的商來預測。例如，如果把屬於(yu) 分類+i和分類+j的兩(liang) 個(ge) 樣品放在一起，根據群商關(guan) 係+i/+j=-k，其邊界態的分布應該和-k的邊界態一致，這被稱之為(wei) 非阿貝尓商準則。

對於(yu) 這個(ge) 結論，研究人員表示可以從(cong) 傳(chuan) 統拓撲理論出發，把每個(ge) 帶隙的Zak相位標出來，然後通過窮舉(ju) 法，把可能的兩(liang) 兩(liang) 組合情況都進行驗證，發現都符合該準則。當然，這種窮舉(ju) 法不是一種廣泛適用的證明方法，研究人員在文章中還從(cong) 基本同倫(lun) 群和Jackiw-Rebbi模型的角度進行了進一步論證。

該項研究實驗上首次觀測到了非阿貝尓拓撲荷，並提出和證實了非阿貝爾拓撲荷對應的體(ti) —邊對應準則，該準則可以被推廣到任意多能帶的非阿貝尓體(ti) 係，為(wei) 今後非阿貝尓拓撲領域的研究給出了一個(ge) 建設性的指導。

相關(guan) 論文信息：https://doi.org/10.1038/s41586-021-03521-3


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