自從(cong) 萊布尼茨和牛頓發展了微積分，科學界和所有學科就不一樣了。從(cong) 物理學和工程學到生物學和數學，微積分作為(wei) 一種尋找真理不可或缺的工具滲透到現代科學的方方麵麵。然而，看待這個(ge) 問題有不同的方法。從(cong) 物理和實踐的角度來看，它與(yu) 變化率的概念有關(guan) ，通過用微分方程的形式寫(xie) 下來的定律可以應用於(yu) 物理學。

從(cong) 純數學的角度來看，我們(men) 有幾種看待它的方法。對一個(ge) 函數求導可以看作是函數空間到另一個(ge) 空間的變換。這個(ge) 變換是一種d/dx的映射，具有以下兩(liang) 個(ge) 重要性質：

這些性質統稱為(wei) 線性。同理，實函數f(x) = kx，其中k是實數，也滿足上述的線性條件：

它也與(yu) 線性代數中的線性變換有相似之處，其中研究對象是向量空間之間的線性變換，例如矩陣。矩陣也滿足線性條件。第一個(ge) 性質非常重要，它保留了函數空間關(guan) 於(yu) 加法運算的結構。這就像一本介於(yu) 兩(liang) 個(ge) 世界之間的字典。將加法結構從(cong) 一個(ge) 世界轉換到另一個(ge) 世界。這種函數稱為(wei) 同態。

在本文中，我們(men) 將定義(yi) 另一種運算符。函數空間之間的變換，不是類似於(yu) 上麵的線性函數，而是類似於(yu) 對數函數。我們(men) 還將推導出與(yu) 上麵定義(yi) 的微分算子類似的各種規則，如乘積規則、鏈式規則等。結果證明，我們(men) 的算子也表現出同態行為(wei) ，但從(cong) 一個(ge) 乘性函數空間到一個(ge) 加性函數空間。

我所討論的運算符叫做對數導數，由以下定義(yi) ：

在使用這個(ge) 運算符之前，讓我們(men) 先說明它的一些好的性質。一個(ge) 很自然的問題是它對常數有什麽(me) 影響。顯而易見：

因為(wei) 它繼承了正規微分算子。最重要的性質是：

你可以用定義(yi) 和通常的微分規則來證明。當一個(ge) 常數乘以一個(ge) 函數時，當我們(men) 對它進行對數微分時這個(ge) 常數就消失了。

這也意味著我們(men) 可以在操作符參數中改變函數之間減法的順序。

現在我們(men) 來說明這個(ge) 算子的鏈式法則。

推導過程很簡單。

它很像微分算子的鏈式法則。我們(men) 還有冪法則：

特別地，我們(men) 有以下兩(liang) 個(ge) 有用的公式：

在這一點上，你可能想知道這個(ge) 算子的特征函數是什麽(me) 。對於(yu) 對數導數，結果是：

但是對於(yu) 對數導數，事實證明：

對於(yu) 所有常數c，使這些函數成為(wei) 函數空間中的特征元素，我們(men) 定義(yi) 了運算符。現在我們(men) 的工具箱裏有了對數導數的一些規則，讓我們(men) 使用它們(men) 。我們(men) 先求正弦函數的對數導數。利用該定義(yi) ，我們(men) 很快得到：

你們(men) 可能還記得sin函數可以寫(xie) 成：

現在，利用上麵的規則我們(men) 可以把無窮積變換成一個(ge) 級數，通過對兩(liang) 邊取對數導數，我們(men) 得到：

我們(men) 已經使用了上麵定義(yi) 的一些規則。分別是冪法則，乘積求和，交換減法，消失常數和鏈式法則。從(cong) 技術上講，我們(men) 需要一個(ge) 論證來確保乘積求和法則對無窮乘積也成立。事實證明，下麵這些就足夠了。

我會(hui) 先陳述，然後再解釋。

• 乘積中的因子必須是複平麵的開子集D上的全純因子
• D上沒有一個因子等於0
• 乘積局部一致收斂於函數f

如果這些條件成立，那麽(me) 我們(men) 通過對兩(liang) 邊取對數導數得到的對應級數在下麵的集合上局部一致收斂。

這裏的反斜杠表示集差。這是什麽(me) 意思?

首先，複函數是全純的，這意味著它是“複可微的”。這是一個(ge) 比實數微分更強的要。求事實上，如果一個(ge) 複函數是可微的那麽(me) 它就無限次可微，這意味著它是解析的。對於(yu) 一般的實際函數來說，這是不正確的。

D上的因子不等於(yu) 零就意味著它沒有將開集映射為(wei) 零。所以非正式地說，一個(ge) 全純函數在它的定義(yi) 域的任意小子集中具有全局信息。上麵的恒等定理是非常重要的，它被用於(yu) 證明一些解析函數有解析延拓這一事實。

如果我們(men) 回到得到的級數，如果沒有π在分母上就好了，但是替換和乘法用一種更著名的形式揭示了這個(ge) 恒等式，也就是：

萊昂哈德·歐拉是第一個(ge) 發現這個(ge) 級數的人。他還用了無窮積表示正弦函數。利用這個(ge) 算子的規則，我們(men) 可以從(cong) 無窮積中找到很多其他的級數。



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