本文結合數學史和人類文明史談數學的起源。

2、運算關係的產生曆史

不同的民族都需要數字，需用數字來表達，在現實生活中常會(hui) 涉及數字之間的數量關(guan) 係。比如軍(jun) 營裏麵現有一個(ge) 營的兵力，然後又有人來參軍(jun) ，又來了一個(ge) 營零一個(ge) 連的兵力，那麽(me) 我們(men) 一共有多少兵力？這樣的數量關(guan) 係怎麽(me) 描述呢？再比如現在軍(jun) 營裏麵有三個(ge) 營的兵力，需要分出去兩(liang) 個(ge) 營給別人，怎麽(me) 分？於(yu) 是現實生活中就產(chan) 生了加法和減法。涉及要把一些東(dong) 西和到一起測量總數的時候就產(chan) 生了加法，涉及要從(cong) 一個(ge) 總的數字當中分一些東(dong) 西出去，就產(chan) 生了減法。在人類最早的文字記載中，加減運算是最早掌握的兩(liang) 種數學運算。我國古代比較注重利用工具來做計算，用算籌或者算盤來做加減法，記錄時用的是文字表達。在現實當中因為(wei) 有需求，才產(chan) 生了各種各樣的運算。從(cong) 根本上說，人類一般是不幹傻事的，總是產(chan) 生對人類有用的東(dong) 西。

算籌

有人問為(wei) 什麽(me) 三加二等五，實際上這個(ge) 問題沒有什麽(me) 好問為(wei) 什麽(me) 的，這些關(guan) 係就是確定的。如果探討緣由的話，這不是純數學的推理能解釋的，而是一個(ge) 哲學、曆史、社會(hui) 學的問題。就是因為(wei) 算術的結論是在人類幾百年、幾千年的社會(hui) 實踐過程中積累、歸納、總結下來的，它們(men) 逐漸凝在人們(men) 意識中固定了下來，在符號的語言中固定了下來，以及在實際的應用中固定了下來。比如三個(ge) 和兩(liang) 個(ge) 放在一塊就是五個(ge) ，兩(liang) 個(ge) 和三個(ge) 放在一塊也是五個(ge) （這最終還總結出了加法結合律），任何時候、任何地方都是這樣。當然現實中也有時候不是這樣，比如三升水和兩(liang) 升酒精加在一起就不是五升，但是，數學的模型、數學的抽象舍棄了這些特殊的情況而抓一般的情況。當然，在現實應用中是需要認清前提的，否則會(hui) 鬧出笑話。

那現實生活中為(wei) 什麽(me) 要產(chan) 生乘法呢？我們(men) 可以想一想，如果我們(men) 要一些東(dong) 西加起來，比如3+3+3+3+3；使用加法很容易得到3+3+3+3+3=15，能得到對應的結果。假如有五十個(ge) “3”相加呢，那我們(men) 需要3+3+3+……，這樣太麻煩了。為(wei) 了簡化起見，人們(men) 用一種新的方式來表達它，也就是“5*3=15”。同理，除法是怎麽(me) 產(chan) 生的呢？一個(ge) 數按照相等的關(guan) 係能減出來多少倍，比如十除以三等於(yu) 三餘(yu) 一，意思就是十按照三個(ge) 等分這麽(me) 分的話，隻能分出三個(ge) 等分來，最後剩下一等分。

加減乘除運算關(guan) 係，都是小學最基本的東(dong) 西。問題的根本在於(yu) 是否知道它的來龍去脈，就是它到底是怎麽(me) 來的，到底是什麽(me) 意思。

3、分數、小數、負數、無理數的產生曆史

我們(men) 講數學，講“數”，數最先產(chan) 生的是自然數，就是“1、2、3、4、5、6、7、8……”，一直往下數下去就是自然數。而後又加入了“0”，“0”和那些自然數，形成了最初的整數的概念（注：負數產(chan) 生後，整數的概念中又加入了負整數）。再後來又出現了分數的概念，甚至還出現了小數的概念。分數的概念很簡單，比如說媽媽烙了一個(ge) 餅，家裏有三個(ge) 孩子，於(yu) 是把這個(ge) 餅分成三份，然後分給每個(ge) 孩子，這時候就需要表述：每個(ge) 孩子吃了多少呢？哦！一個(ge) 孩子吃了三分之一。媽媽一想，還得給你們(men) 爸爸留一份，拿刀在這個(ge) 餅上切了個(ge) “十字”，分成了四塊。這時一塊餅就變成四份了。而後媽媽再一想，我自己還沒吃呢，就可以把這個(ge) 餅分成五份。這裏就涉及三分之一，四分之一，五分之一。從(cong) 這裏可以發現，一個(ge) 整體(ti) 要分成若幹份，我們(men) 原來了解的整數的概念隨著生產(chan) 生活的發展逐漸不夠用了，在進行測量、分物或計算時，往往不能正好得到整數的結果，於(yu) 是就產(chan) 生了分數的概念。

小數又是如何產(chan) 生的呢？一些實用的計量單位多采用十進製計數法，由此也就產(chan) 生了十進分數，也就是小數。小數的產(chan) 生較負數晚，第一個(ge) 將這一概念提出的是魏晉時代的劉徽，他在計算圓周率的過程中，用到了尺、寸、分、厘、毫、秒 、忽7個(ge) 長度計量單位，對於(yu) 忽以下的更小單位則不再命名，統稱為(wei) “微數”。在早期小數可視為(wei) 是分數的一種變形的表達形式。有的是一種準確的表達，有的則是一種近似的表達。比如，當我們(men) 描述三分之一的時候，三分之一是一個(ge) 準確的概念，而0.333333……不管後麵有多少個(ge) 3，都是不準確的。但不管怎麽(me) 說，我們(men) 現實生活中有了小數也行。比如說，分了一塊餅的三分之一，這個(ge) 說法很準確；說分了0.3333塊餅，雖然有點近似，但是也能理解它的意思。因此小數也有小數的意義(yi) 。於(yu) 是我們(men) 的加減乘除運算，也可以把分數和小數加進去。

人們(men) 在生產(chan) 生活實踐中，為(wei) 了表示相反意義(yi) 的量，如錢糧虧(kui) 損、材料欠缺、負債(zhai) 等情況，將其用數學符號來表達，就產(chan) 生了負數。在中國公元一世紀的《九章算術》中，就最早提出了正負數加減法的法則。整數、分數、小數，加上負數，就構成了我們(men) 今天所說的有理數。

九章算術

有了有理數，我們(men) 再看無理數。無理數的產(chan) 生也是很早的，但它被人們(men) 真正接受卻是比較晚的。早在公元前470年左右的古希臘，畢達哥拉斯學派的學員希帕索斯發現邊長為(wei) 1的正方形對角線長度不能用整數之比的形式來表達，打破了畢達哥拉斯學派“任何數都可以寫(xie) 成兩(liang) 個(ge) 整數之比”的信條。這個(ge) 長度的值其實就是後來說得無理數，然而希帕索斯本人卻因此被驚恐無比的畢達哥拉斯學派其他成員投入大海。隨後，數學家們(men) 陷入了對這個(ge) 問題的長期的爭(zheng) 論中，這就是第一次數學危機。但是真理是掩蓋不了的，畢達哥拉斯學派抹殺真理才是“無理”，人們(men) 為(wei) 了紀念希帕索斯，把這樣的量稱作“無理數”，無理數最終還是被人們(men) 認識到並且影響了隨後整個(ge) 數學的發展。

希帕索斯

在數的範圍在不斷擴展的同時，計算領域內(nei) 也產(chan) 生了很多新的運算。在計算體(ti) 積的過程中產(chan) 生了乘方的概念，如一個(ge) 正方形加上一個(ge) 高變成正方體(ti) ，相同的量三次相乘，就構成了三次方。產(chan) 生了乘方，自然，也就要產(chan) 生與(yu) 之相反的開方的概念。

隨著我們(men) 現實中需要解決(jue) 的數量關(guan) 係越來越複雜，運算關(guan) 係也變得越來越豐(feng) 富，數的表現方式也變得越來越豐(feng) 富。前麵所說的有理數和無理數統稱為(wei) 實數，後來又有了虛數的概念。與(yu) 整數、分數等不同的是，虛數不是在自然科學或技術方麵的推動下產(chan) 生的，而是產(chan) 生於(yu) 數學本身內(nei) 部產(chan) 生的抽象的數學體(ti) 係，但在後來也產(chan) 生了極有價(jia) 值的應用。

4、複數的曆史

虛數究竟是如何產(chan) 生的？在中學的教科書(shu) 中，出於(yu) 中學星空体育官网入口网站所限，將其解釋為(wei) 為(wei) 了讓方程x^2+1=0有解而引入了虛數i。但在曆史中，複數是在一些數學家求解三次方程的過程中，發現結果中會(hui) 出現對負數的開方，於(yu) 是這個(ge) 時候提出了虛數。可以說，複數正是在代數方程的求解中產(chan) 生的。在古希臘時期，丟(diu) 番圖的《算數》中就已經記載了一元二次方程在時的情形，但當時丟(diu) 番圖沒有考慮這種方程是否有解。直到16世紀，三、四次方程的求解中才出現了複數。意大利學者卡爾丹在塔塔利亞(ya) 的基礎上推出了一般三次方程的解法。但在求解的過程中，出現了不可約的情形，這時負數會(hui) 被開方。然而這是當時的歐洲人無法接受的，因為(wei) 負數的出現本身就難以接受了（歐洲人為(wei) 什麽(me) 難以接受負數，這也是一個(ge) 與(yu) 社會(hui) 學文化學相關(guan) 的有意思的問題），更別說給負數開方。之後，又有意大利數學家邦貝利引入了複數，但他本人覺得複數是神秘而無用的東(dong) 西。法國數學家笛卡爾也將困惑數學家的“虛無縹緲”的東(dong) 西命名為(wei) “虛數”。

但是在19世紀初，數學家給出了複數的幾何解釋。也就是用一個(ge) 十字坐標，把一個(ge) 稱之曰虛軸，一個(ge) 稱之曰實軸，構成一個(ge) 平麵，實數和虛數走到一起構成了一個(ge) 複數，寫(xie) 成a+bi的形式，而這個(ge) 平麵就是複平麵（如下圖）。而這個(ge) 和向量即既有大小又有方向的量就可以對應起來了。在此基礎上，將a、b換成變量x，y，並由此建立了複變函數。

後來人們(men) 又逐漸發現複數的理論體(ti) 係在解決(jue) 很多現實問題是很好的工具。在流體(ti) 力學中，比如對於(yu) 一條河流，中間有一根木頭擋住了一部分水流，那麽(me) 對於(yu) 木頭兩(liang) 側(ce) 的水流，雖然距離很近，甚至可以忽略，但是兩(liang) 邊水流的速率、方向卻相差非常大，必須要繞過木頭才能建立起相應的關(guan) 係。把這個(ge) 現象用一個(ge) 模型來表達（如下圖），發現它和複平麵上複變函數的性質非常相似。也就是，對於(yu) 複平麵上這樣一個(ge) 區域，中間被部分隔斷，在被隔斷處兩(liang) 側(ce) ，雖然距離非常小，但是函數在這兩(liang) 端的性質相差非常大。

因此，人們(men) 開始越來越相信複數的產(chan) 生在數學中是有著非常重要的意義(yi) 的。