數學演化的曆史

動物也具有數學本能。

比如，蜜蜂建造的蜂巢，是嚴(yan) 格的六角柱形體(ti) 。它的一端是六角形開口，另一端則是封閉的六角棱錐體(ti) 的底，由三個(ge) 相同的菱形組成。這些蜂巢組成底盤的菱形的所有鈍角都是109°28′，所有的銳角都是70°32′。後來法國數學家克尼格和蘇格蘭(lan) 數學家馬克洛林計算得知：如果要消耗最少的材料，製成最大的菱形容器正是這個(ge) 角度。

圖1

丹頂鶴遷徙總是成群結隊，而且排成“人”字形。這“人”字形的角度永遠是110°左右，如果計算更精確些，“人”字夾角的一半，即每邊與(yu) 丹頂鶴群前進方向的夾角為(wei) 54°44′08″。按照這個(ge) 隊形，使得隊伍中的丹頂鶴最省力。

同樣地，人類從(cong) 遠古走來，最開始是猿，從(cong) 猿進化到人。因此，人在生存發展的過程中，必然要產(chan) 生基本的數量需求和位置需求。比如，人生存好要吃肉，吃肉就要捕獵，可捕獵是有風險，當然誰也不願意受傷(shang) 。那麽(me) ，就要思考這一個(ge) 月需要吃幾頭豬，並且不用冒更大的風險捕獵更多的豬。而這對應著基本的數量需求。

另外，我們(men) 要有住的地方，不能直接挨著獅群住，也不能離水源太遠，還要考慮地勢高低，不能一下雨，住的地方就成了水坑。這就對應著基本的位置需求。

這就產(chan) 生了基本的數量需求和位置需求。

產(chan) 生了這些東(dong) 西之後就希望有一種描述，於(yu) 是數學從(cong) 這個(ge) 時候開始產(chan) 生，但是非常的初淺。比如說，一個(ge) 原始社會(hui) 的一個(ge) 群落或者一個(ge) 山洞，這個(ge) 山洞裏麵我們(men) 到底有多少個(ge) 人、我們(men) 打死了幾隻猴子、幾隻野豬等等這些東(dong) 西都需要計量。再比如，我們(men) 還需要研究位置關(guan) 係：我們(men) 所居住的山洞跟某一個(ge) 河流構成了怎樣的位置關(guan) 係，跟某一個(ge) 岔路口構成怎樣的位置關(guan) 係，當時這些問題都需要前人來解決(jue) 。同時，我們(men) 還要解決(jue) 場所的大小問題。比如說，我們(men) 這個(ge) 山洞它究竟有多大，它究竟能夠容納多少人等等，這都是問題。這些問題發生了，於(yu) 是人類開始產(chan) 生最基本的東(dong) 西。

比如說，最開始需要計量，於(yu) 是產(chan) 生了1、2、3、4等自然數。

為(wei) 什麽(me) 稱之為(wei) 自然數呢？

數學的定義(yi) 都是經過嚴(yan) 格推敲的，是要反映它的本質，給人以形象的理解。舉(ju) 個(ge) 稍複雜點的概念——支集，具體(ti) 的定義(yi) 為(wei) ：一個(ge) 函數f定義(yi) 在集合X上，其中X的一個(ge) 子集，滿足f恰好在這個(ge) 子集上非0，那麽(me) ，這個(ge) 集合稱為(wei) 支集。這就好像X軸是地麵，函數像人一樣從(cong) 地麵上支撐起來。

因為(wei) 它是從(cong) 大自然中來，自然產(chan) 生的。有了數量需求，就想著表示。從(cong) 最開始，不同的人有不同的發展，因為(wei) 他是自然發生的。我們(men) 最開始就產(chan) 生自然數，利用這個(ge) 東(dong) 西來計量。我們(men) 想想人類最開始有數學需求的時候，那個(ge) 時候又沒有這些數字，於(yu) 是那個(ge) 時候隻能弄一個(ge) 小繩。比如說，我打死一隻麅子，我在這個(ge) 小繩上係個(ge) 扣，我打死第二隻再係第二個(ge) 扣……

等回來之後酋長問我：你今天戰果如何啊？我把那個(ge) 小繩往外一掏，給你看這麽(me) 多個(ge) 扣。問我戰果怎麽(me) 樣？你看有多少個(ge) 小疙瘩，那麽(me) 戰果就有多少。所以那個(ge) 時候人類生活是很不方便的，隻能通過那些小疙瘩來計數。而後來，發明了數，雖然這事對我們(men) 今天來講是很簡單一件事，在那個(ge) 時候來講它極不簡單。

當人們(men) 對數的認識變得越來越明確時，人們(men) 覺得有必要以某種方式來表達事物的這一屬性，於(yu) 是就產(chan) 生了計數。最開始的是采用手指計數，一隻手五根指頭表示5以內(nei) 的事物的集合，兩(liang) 隻手就表示10以內(nei) 的事物的集合。正如亞(ya) 裏士多德所言，我們(men) 今天十進製的廣泛采用就源於(yu) 人生來就有10根手指這樣的解剖學結果。

隨著人們(men) 對於(yu) 數的需求越來越大，10以內(nei) 的數已經不敷運用時，於(yu) 是我們(men) 就出現了石子計數。但隨之而又出現了一個(ge) 很大的不便，計數的石子很難長久保存信息，容易出現丟(diu) 失。所以隨著發展又出現結繩計數和刻痕計數這兩(liang) 種計數方式，這打開了我們(men) 計數發展的新局麵，是一個(ge) 跨越式的前進。

例如，在美國自然史博物館保存有古代南美印加部落用來記事的繩結：在一根較粗的繩子上栓係塗有顏色的細繩，再在細繩上打著各種各樣的結，不同顏色和結的位置、形狀表示不同的事物和數目。這種記事方法在秘魯高原一直盛行到19世紀，而日本的琉球島居民還仍然保持著結繩記事的傳(chuan) 統，足見結繩記事對於(yu) 人類發展的重要意義(yi) 。計數係的出現使數與(yu) 數之間的書(shu) 寫(xie) 運算成為(wei) 可能，在此基礎之上初等算術在幾個(ge) 古老文明地區發展起來了。

圖2

數1、2、3、4……我把它排成順序，隻要記其中一個(ge) 就行，根本不必要重複。比如說，打死了八隻麅子，1、2、3、4、5、6、7、8，我隻要能說出“8”，大家就能明白什麽(me) 意思。這就是最開始產(chan) 生“數”。

但大家想想，在古代，那個(ge) 時候還沒有麵積的概念，但是人們(men) 還要描述事物的大小，你們(men) 說怎麽(me) 辦？我們(men) 現在就模仿一下古人。假如說我們(men) 現在沒有麵積的概念，也沒有尺寸的概念，要描述一下這塊石板有多大怎麽(me) 告訴我？最開始肯定用手臂比劃一下。但如果再遇到兩(liang) 個(ge) 情況就不好辦了：一個(ge) 情況是，這個(ge) 石板遠遠比我的兩(liang) 個(ge) 手臂寬，怎麽(me) 辦？長和寬都要超過手臂能比劃的範圍，怎麽(me) 辦？另一種情況是你在五裏以外，發現這麽(me) 一塊石板，你又不能見我的麵，要通過一個(ge) 小孩，來轉達我，怎麽(me) 辦？你可以想象很多種情況。在這個(ge) 時侯就遇到困難。不要單說這麽(me) 大的石頭，還有的情況是：非常小，小的像一個(ge) 小米粒那麽(me) 大，然後跟我“恩恩恩”，以手做比劃，我這麽(me) 比劃了半天，尤其是遠的同學，你也沒看明白什麽(me) 意思，是吧？我在這裏邊，說，有一種黃色的米，你啥也看不到，就是說，太小了你看不出來，超過你雙臂能比劃的範圍你也看不出來。在這個(ge) 時侯，人類就想，我怎麽(me) 描述它呢？於(yu) 是有一天，終於(yu) 想出來，用長和寬的關(guan) 係來描述麵積，用長寬高的關(guan) 係來描述體(ti) 積。所以大家想，這個(ge) 世界，我們(men) 今天所描述的東(dong) 西，都不是憑空而來的。

很多數學基本概念的定義(yi) 確定了數學未來發展的形式。

麵積表示著平方的概念，如果是一塊麵積。平方就是二維了，就涉及到以後的坐標係，並直接暗含著直角坐標係。如果，一開始麵積表示不是平方，而是現在講的菱形，那麽(me) ，菱形坐標係該怎麽(me) 表示？

圖3 笛卡爾坐標係

其實呢，最開始借助的都是長乘寬。用長和寬相乘，用方的東(dong) 西，不管是正方的，還是長方的，用一個(ge) 方的東(dong) 西定義(yi) 了麵積。但是以後即使不是方的，我也借助於(yu) 方的來表達。所以，很多東(dong) 西不是從(cong) 來就是這樣的。如果我們(men) 善於(yu) 從(cong) 哲學角度想問題的話，你將會(hui) 發現，在這裏不自覺地有這樣一個(ge) 坐標關(guan) 係。借助於(yu) 一個(ge) 直角坐標關(guan) 係。那就是說，說明這個(ge) 角是直角。你這麽(me) 定義(yi) 麵積。大家再想想，人類還可以換多種方式定義(yi) 麵積。比如說，現在的坐標軸都是這樣的一個(ge) 角度的坐標軸，不是90°，而是60°，60°的坐標的話，我仍然可以建立坐標，那麽(me) 我仍然可以用60°的坐標這種關(guan) 係建立麵積的概念。如果人類最開始定義(yi) 麵積，用這種60°角（的坐標）來定義(yi) 麵積，那麽(me) 你們(men) 可以想象，我們(men) 今天的數學就不是今天這個(ge) 樣子。所以數學它最後形成的形式，跟你最開始的定義(yi) 方式是密切相連的。我們(men) 到了大學，讓我們(men) 做這樣一個(ge) 不定積分，（sinx/x）的不定積分，覺得這個(ge) 東(dong) 西太難了。那麽(me) 這個(ge) 不定積分原函數我們(men) 在數學上怎麽(me) 回答？原函數是存在的，但是我們(men) 不知道他如何表達，因此我們(men) 就說這個(ge) 不定積分現在沒有。事實上，我們(men) 後來真的學了積分之後，我們(men) 發現要描述它非常容易。為(wei) 什麽(me) 呢？因為(wei) 我們(men) 隻要在一個(ge) 很小的範圍內(nei) ，我們(men) 把sinx進行泰勒展開。發現它就是這麽(me) 一個(ge) 關(guan) 係，你隻要把x跟它每一個(ge) 除一下，它就變成了。我們(men) 發現把這個(ge) 原函數找到，並且算一下計算就比較簡單。我們(men) 隻要找到了它，對它進行積分，就是一個(ge) 冪函數積分，積出來還是個(ge) 級數，非常簡單。一個(ge) 用積分表達，計算起來也並不複雜的東(dong) 西，為(wei) 什麽(me) 我們(men) 通常表述就那麽(me) 難呢？這就說明我們(men) 今天的數學是沿著一特定的思路來定義(yi) 下來的，來演繹下來的。假如說現在我們(men) 定義(yi) 麵積，我們(men) 是按60°定義(yi) 或者按30°來定義(yi) 而不是按90°來定義(yi) 的話，這個(ge) 時侯，你重新算sinx/x這個(ge) 積分的時候，可能一下子積出來，這是個(ge) 非常簡單的東(dong) 西。而現在我們(men) 非常簡單的東(dong) 西，那個(ge) 時候就有可能變得非常複雜的東(dong) 西。我們(men) 有些從(cong) 事數學的人，在一些具體(ti) 問題上能夠取得一定的成就，但是可以說，仍然處在一個(ge) “小家”的水平上，不能稱之為(wei) 大家。問題就在於(yu) 他們(men) 並不能夠用開闊的思想來思考數學，他們(men) 不知道數學為(wei) 什麽(me) 是這個(ge) 形式，他們(men) 不知道數學未來將會(hui) 是什麽(me) 形式，他們(men) 不知道數學未來將怎樣發生革命。像牛頓、萊布尼茲(zi) 、龐加萊、克萊因等大數學家，他們(men) 都是有很深的數學史、數學哲學功底的。

我們(men) 最開始由於(yu) 數量的需要，產(chan) 生了數字。後來由於(yu) 要解決(jue) 位置的問題，產(chan) 生了歐幾裏得平麵幾何。雖然中國人在古代並不知道歐幾裏得，但是中國人、希臘人和其他國家的人一樣都需要解決(jue) 這些實際問題。

與(yu) 算術的產(chan) 生相仿，最初的幾何星空体育官网入口网站則是源於(yu) 人們(men) 對於(yu) 形的直覺中萌發出來的，史前人大概首先是從(cong) 自然界本身提取幾何形式，在器皿製作、建築設計及繪畫裝飾中加以呈現。據研究，不同地區幾何的產(chan) 生有不同的曆史背景。古埃及幾何學產(chan) 生於(yu) 尼羅河泛濫後土地的重新丈量，古印度的幾何學的起源則與(yu) 宗教實踐密切相關(guan) ，而古代中國幾何學的起源更多的與(yu) 天文觀測相聯係，由此，我們(men) 也可以發現幾何學的出現離不開我們(men) 生產(chan) 生活的需要。

圖4

一旦這些實際問題得到解決(jue) ，對於(yu) 我們(men) 現實生產(chan) 生活是十分有益的。數字——自然數產(chan) 生之後，我們(men) 想描述現實的情況變得有可能了。比如說，在我們(men) 這樣一個(ge) 小區域內(nei) 有多少棵楊樹呢，我們(men) 隻要查一下，有27棵楊樹。在一個(ge) 小區域內(nei) 有27棵楊樹，我隻要寫(xie) 這樣一個(ge) 數字就行了。注意，那個(ge) 時候中國可沒有這樣一個(ge) 數字，這是阿拉伯人發明的，阿伯人用這樣一個(ge) 方式來描述，我們(men) 中國人不用這個(ge) 方式，中國人用一橫兩(liang) 橫來描述。阿拉伯人用這個(ge) “1、2、3、4、5……”來描述，羅馬人用“Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ……”來描述，而中國人用什麽(me) 來描述呢？中國人用 “一、二、三、四、五……”。

不同的民族有不同的描述方式，別看這個(ge) 描述方式看起來很簡單，這裏的問題比較複雜。我們(men) 想想為(wei) 什麽(me) 數學在西方比較發達？比如說像古希臘，羅馬，後來的法國、英國、德國等等，為(wei) 什麽(me) 在這些國家，在西方率先發展起來了？為(wei) 什麽(me) 中國古代曾經有燦爛輝煌的數學，為(wei) 什麽(me) 近代沒有發展起來呢？古羅馬發展也受限製。一個(ge) 很重要的原因是我們(men) 的數學表達形式太難了，或者用另一種說法叫沒有及時符號化。用一個(ge) 簡單的例子，比如一千五百二十一加一千五百二十五，寫(xie) 成“1521+1525”，列豎式運算，非常方便，但是按照我們(men) 的文字表達，加起來很困難，其他運算也是如此。

未完待續。

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