隨著中國國力的上升，人民生活水平的提高，坐飛機出國旅遊已經不是一件稀罕的事情。在長途飛行中，飛機上除了播放一些文藝節目外，也會(hui) 不時顯示出飛機的位置和已經飛過的路線。如果留意一下這些飛行路線，就會(hui) 發現一個(ge) “奇怪”的現象：飛機好像並不是沿著最短路線飛，而是在“繞著”飛。

比如從(cong) 美國的洛杉磯經過韓國的仁川中轉後，飛回中國的上海，就是這樣“繞著”飛的。洛杉磯的緯度是北緯34度03分，仁川和上海的緯度和洛杉磯差不多，分別是北緯37度28分和31度20分。在想象中，從(cong) 洛杉磯飛向仁川應該基本上是往西飛，即基本上是沿著北緯34度到37度的這個(ge) 區帶往亞(ya) 洲飛。在地圖上，飛行路線應該基本上是一條直線。

但是飛機的實際飛行路線卻不是這樣。飛機從(cong) 洛杉磯起飛後，並不往西飛，而是沿著北美洲的海岸線朝西北方向飛。到了白令海峽以後，才轉向正西，然後又轉向西南方向飛，從(cong) 堪察加半島附近飛過，再飛向仁川。很明顯，飛機是在地圖上繞了一個(ge) 大圈子。

現在汽油的價(jia) 格這麽(me) 高，航空公司為(wei) 了節省飛行成本，想盡了一切辦法。但是它們(men) 為(wei) 什麽(me) 不選擇最短的路線飛呢？多飛這麽(me) 多裏程，要多燒多少汽油啊！

但是在實際上，飛機是沿著最短的路線飛行的。要是飛機真的是基本上沿著緯度線一直向西飛，即沿著地圖上洛杉磯和仁川之間的直接連線飛，路程反而更長。

你也許會(hui) 覺得奇怪：這怎麽(me) 可能呢？問題就出在地圖上。我們(men) 平時所用的世界地圖並不能準確地反映出地球表麵各個(ge) 點之間的空間關(guan) 係，而是經過變形的。所以在插圖中看見的“繞彎”的路線，其實是一種假象。你要是去看地球儀(yi) ，就會(hui) 發現洛杉磯和仁川之間的最短路線應該是在地球儀(yi) 上這兩(liang) 個(ge) 城市之間拉一根繃緊的橡皮筋的途徑，與(yu) 插圖中飛機走的路線基本相符，而不是沿著34到37度的緯線走的。那樣走反而更遠。這是因為(wei) ：

球麵不能展成平麵而不變形

從(cong) 幾何上講，地球表麵上兩(liang) 點之間的最短距離應該是通過地球球心和地表兩(liang) 點這三個(ge) 點決(jue) 定的平麵與(yu) 地球表麵的交界線（在這裏假設地球是一個(ge) 完美的球形）。而沿著緯線的平麵，除了在赤道（緯度為(wei) 零）外，都不通過地心，因此這個(ge) 平麵與(yu) 地球表麵的交界線就不會(hui) 是最短距離。

地圖變形的原因就在於(yu) ，地球的表麵是一個(ge) 球麵（三維），而我們(men) 平時使用的地圖是一個(ge) 平麵（二維）。球麵是沒有辦法展平為(wei) 平麵而不變形的。你隻要剝下一個(ge) 廣柑的皮（盡量剝成一片），把它放在桌上，你就會(hui) 發現這些皮不能被展開成一個(ge) 平麵。

不是說所有的曲麵都不能變成平麵。比如把吸果汁的管子縱向剪開，就可以展成一個(ge) 平麵。圓錐形的表麵也可以展成平麵。在這裏，曲麵隻在一個(ge) 方向上“拐彎”，在另一個(ge) 方向上仍然保留有直線。如果曲麵在各個(ge) 方向上都“拐彎”，像球麵那樣，就沒有辦法展為(wei) 平麵了。

但是隻有平麵的地圖用起來才方便。那怎麽(me) 辦呢？為(wei) 了解決(jue) 這個(ge) 問題，人們(men) 使用了各種投影方法。一種辦法就是利用圓筒能展為(wei) 平麵的原理，把地球“裝”在一個(ge) 圓筒中，地球的赤道和圓筒相接觸。再想象圓筒的中軸上有一條光源，光線隻能朝垂直於(yu) 中軸的方向照射。把地球表麵上的各點投影到圓柱上，再把圓筒展為(wei) 平麵，就得到了二維的平麵地圖。

很容易看出，這樣得到的地圖在赤道附近變形最小。離赤道越遠，變形越大。在北極和南極，在地球上本來是一個(ge) 點，現在卻要變成一個(ge) 與(yu) 赤道長度相等的直線，變形無限大（從(cong) 零到某個(ge) 固定數值）。緯度很高的國家，比如加拿大，俄國，冰島，就在東(dong) 西方向上被極大地拉長了。

而且這樣投影，越往北極和南極，緯度之間的距離也被壓縮得越厲害。為(wei) 了保持緯度之間的距離不變，可以把經線和緯線都畫成垂直相交，距離相等的直線。這樣在緯度上沒有變形，但是在經度上被拉伸了。

這就像被縱向切成一瓣瓣的西瓜，西瓜皮中間最寬，而兩(liang) 頭是尖的。把這些西瓜皮排成一排，隻要把西瓜切的瓣數足夠多，就可以基本上把這些西瓜皮排成一個(ge) 平麵。但是這個(ge) 平麵隻在赤道線上是連續的，上下都由“鋸齒”組成。如果把“鋸齒”都橫向擴展到赤道線那麽(me) 寬，就可以變成一個(ge) 連續的長方形的平麵。這樣得到的地圖，在極地附近也有非常大的變形。

另一個(ge) 辦法是讓西瓜皮鋸齒橫向變形，彼此並到一起，它們(men) 的尖也合在一起，使北極和南極再次成為(wei) 一個(ge) 點，地圖的其它點也相應地靠攏，這樣也可以得到一個(ge) 連續的近似橢圓的平麵地圖。這樣得到的地圖在經度方向上沒有拉伸，緯度方向上也沒有壓縮。但是在地圖的邊緣，形狀變化很大。本來是南北方向的直線變成很彎的曲線了。

為(wei) 了避免這些嚴(yan) 重的缺點（極地無限拉伸和邊緣極度變形），可以采取一個(ge) 折中，即把西瓜皮的“尖”也擴展一點，再把這些鋸齒橫向合並。這樣得到的地圖上下方不是一點，而是比赤道短一些的線，整個(ge) 地圖像一個(ge) 鼓從(cong) 旁邊看的圖形。這樣在高緯度區域仍然有拉伸，但是拉伸的程度小一些，而且在邊緣地區變形也比較小。我們(men) 現在使用的世界地圖，基本上就是這樣得到的。

由於(yu) 在高緯度地帶仍然有拉伸，而且緯度越高，拉伸越厲害。像俄國和加拿大的版圖就被人為(wei) 地拉長了，顯得這兩(liang) 個(ge) 國家格外巨大。飛機在這樣的地圖上顯示出來的飛行路線也是被拉伸了的，也就是被人為(wei) 地誇大了。

同理，我們(men) 在大洋彼岸遙望祖國，比如從(cong) 洛杉磯的海邊遙望上海，也不是想象的那樣應該向西沿著緯線望，而是應該向西北方向望，那才是到上海的最短距離。

球麵與(yu) 平麵的關(guan) 係對我們(men) 的生活和工作的影響

球麵與(yu) 平麵之間的相互不能轉換性也影響到我們(men) 的生活和工作。比如一些火箭和飛機的頭部是做成圓錐形的，以減少空氣阻力。這樣的形狀可以方便地用金屬板卷曲而成，因而加工起來簡單方便。但是圓錐形並不是最好的形狀。我國剛剛成功發射的“天宮一號”所使用的整流罩，頂部的形狀就采用了馮(feng) ·卡門曲線以最大限度地降低空氣阻力。這樣得到的球麵是不能展開為(wei) 平麵的。這裏人們(men) 利用金屬的延展性，即可以變形。如果有正確的模子，就可以衝(chong) 壓成型，即把平麵變形為(wei) 球麵。許多球麵和曲麵的產(chan) 品就是經過金屬板的衝(chong) 壓變形而成的。但是模子的加工是一個(ge) 不容易的任務。另一個(ge) 辦法是鑄造，直接成型，繞過平麵變曲麵的問題。但是鑄造也需要模子。

我們(men) 的頭基本上是圓球形的，用一塊布就無法不起皺褶地做成一頂帽子。一種辦法是用多條西瓜皮形狀的布連成一頂帽子，這就是我們(men) 早些年見到的“瓜皮帽”。用布做的各種形狀的帽子，都是由多塊布拚接而成的。同樣，用牛皮做籃球也要用多塊皮子拚接起來。因為(wei) 布和牛皮的延展性沒有金屬好，變形有限。用毛線織帽子就可以通過加針和減針改變形狀，繞過平麵和球麵之間變換難的問題。

我們(men) 身體(ti) 的形狀是很複雜的，也很難展為(wei) 平麵。所以要用延展性不好的布料做衣服也不是一件容易的事情。特別是內(nei) 衣，用延展性差的布料製作，必然會(hui) 出現令人不舒服的皺褶。人們(men) 喜歡穿針織的內(nei) 衣，就是因為(wei) 它們(men) 的延展性好，比布料更加熨貼。就是外麵的衣服合身了，能夠容易地把衣服疊起來（再變為(wei) 平麵）也是不容易的。在這裏剪裁的水平就有高下之分。所以裁縫也不是那麽(me) 容易做的。名牌衣服之所以賣得貴，原因之一也是剪裁的水平高。

人的科學技術水平可以不斷進步，許多原來沒有的東(dong) 西可以被創造出來；原來不可能的事情，經過努力也可以辦到。但是一些基本的規律卻是不能違反的，它們(men) 所帶來的限製也是難以完全克服的。球麵和平麵的關(guan) 係就是一個(ge) 例子。


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