望月新一（圖片來源：京都大學）

2012年，日本數學家望月新一（Shinichi Mochizuki）將4篇總篇幅超過600頁的論文掛到了自己的網站上。望月新一在論文中宣稱，他解決(jue) 了當今數學界最大的難題之一——ABC猜想。然而，這600多頁的內(nei) 容如同天書(shu) ，在此後一段時間內(nei) 幾乎沒有其他數學家能理解。

直到上周，經過7年半的審查，望月新一的論文終於(yu) 迎來歸宿，正式發表於(yu) 《數理解析研究所公刊》（PRIMS）特刊電子版。不過，論文的發布絕非終點，在這之後，更多同行將對這些充滿爭(zheng) 議的內(nei) 容進行解讀、評判。而ABC猜想究竟是否已經被真正證明，也有待進一步檢驗。

30多年的猜想

望月新一試圖解決(jue) 的ABC猜想，是一個(ge) 有著超過30年曆史的數論難題。這個(ge) 猜想揭示了整數加法與(yu) 乘法之間的深刻聯係。每個(ge) 正整數都能唯一地表達為(wei) 質數的乘積。現在，a、b、c是3個(ge) 正整數，其中a + b = c。如果a和b能分解為(wei) 許多小的質數，那麽(me) c就隻能分解為(wei) 寥寥可數的幾個(ge) 大質數。

這個(ge) 想法首先是由法國數學家約瑟夫·厄斯特勒（Joseph Oesterlé）在1985年的一次演講中提出的。厄斯特勒當時隻是隨口一提，但在場的瑞士數學家戴維·馬瑟（David Masser）意識到，這個(ge) 猜想可能非常重要，於(yu) 是開始宣傳(chuan) 它的一種推廣形式。因此，ABC猜想也被稱作厄斯特勒-馬瑟猜想。

數年後，哈佛大學的數學家諾姆·埃爾奇斯（Noam Elkies）意識到，如果ABC猜想是正確的，它將會(hui) 對整數方程研究領域產(chan) 生深遠的影響——對ABC猜想的證明會(hui) 一下子解決(jue) 一長串著名的未解丟(diu) 番圖方程。

如何理解ABC猜想的重要性呢？我們(men) 先來看此前丟(diu) 番圖方程研究史上最重要的突破。美國數學家路易·莫德爾（Louis Mordell）曾在1922年提出了一個(ge) 猜想，認為(wei) 絕大部分丟(diu) 番圖方程要麽(me) 沒有解，要麽(me) 隻有有限個(ge) 解；而莫德爾的猜想在1983年被德國數學家格爾德·法爾廷斯（Gerd Faltings）證明，他三年後因此獲得菲爾茲(zi) 獎。而如果ABC猜想是正確的，你知道的就不僅(jin) 僅(jin) 是方程有多少個(ge) 解，還能把它們(men) 全部列出來。

如果得到證實，這將會(hui) 成為(wei) 本世紀內(nei) 最驚人的數學成就之一，也會(hui) 在整數方程的研究中掀起一場徹底的變革。基於(yu) ABC猜想，還可能出現一種用於(yu) 證明費馬大定理的全新方法。

苦戰十年

望月新一於(yu) 1969年出生在東(dong) 京，他在幼年時就被家人帶到美國。年僅(jin) 16歲時，天賦異稟的望月新一就成為(wei) 了普林斯頓大學數學係的本科生。很快，他就直接進入了博士階段的學習(xi) ，而他的導師正是證明了莫德爾猜想的法爾廷斯。

1994年，在普林斯頓大學取得博士學位的望月新一回到日本，任職於(yu) 數理解析研究所。此後幾年，他的一係列工作取得了國際聲譽。但到了21世紀初，望月新一卻將自己“封閉”在研究所內(nei) ，不再參加國際會(hui) 議，甚至很少離開京都。然而望月新一確實與(yu) 其他數論學家保持著聯係，他們(men) 知道望月新一的最終目標就是ABC猜想。他幾乎沒有競爭(zheng) 者：絕大部分數學家明確避開了這個(ge) 問題，認為(wei) 它過於(yu) 棘手。

2012年8月30日，望月新一在網上公開了自己的證明。不過，他沒有選擇預印本網站，而是將論文悄悄地發在了數學科學研究所的網站上。這4篇論文不僅(jin) 篇幅驚人，內(nei) 容也令其他數學家頭疼不已——其中一些數學概念是他完全不熟悉的。望月新一在描述一些全新理論時，會(hui) 使用令人震驚的、幾乎是以救世主自居的語言，他甚至將他創造的這個(ge) 領域稱為(wei) “宇宙際幾何”。

美國威斯康星大學麥迪遜分校的數論學家喬(qiao) 丹·埃倫(lun) 伯格（Jordan Ellenberg）這樣評價(jia) 望月新一的論文：“就像是在讀來自未來或外太空的論文。”他的導師法爾廷斯也表示：“我嚐試讀了一部分，然後在某個(ge) 階段，我放棄了。我不明白他在幹什麽(me) ”，並且批評他“沒有將想法更加清晰地表達出來”。

首先宣稱看懂這些證明性的，是英國諾丁漢大學的伊萬(wan) ·費先科（Ivan Fesenko）。費先科仔細研究了望月新一的工作，並在2014年拜訪望月新一聲稱，他已經驗證了證明的正確性。統括宇宙際幾何的主題，如費先科所述，就是我們(men) 必須以另一個(ge) 角度看待整數——將加法放在一旁，將乘法看成某種可以延伸變化的結構。標準的乘法將會(hui) 成為(wei) 一類結構中的特殊情況，就像圓是橢圓的特殊情況。但對於(yu) 絕大多數數學家來說，這些論文依舊是“天書(shu) ”，望月新一的猜想一度陷入了僵局。

缺陷無法修複？

2017年12月，日本《朝日新聞》報道稱，望月新一的論文已經被雜誌正式接收，當時就有消息稱接收這些論文的正是望月新一擔當主編的PRIMS，不過PRIMS的編輯在當時對這一傳(chuan) 言予以否認。

幾個(ge) 月後，望月新一的處境更加不妙。兩(liang) 位德高望重的數學家——2018年菲爾茨獎得主，波恩大學的彼得·朔爾策（Peter Scholze）和歌德大學的雅各布·施蒂克斯（Jacob Stix）反駁了望月新一的證明，並指出其中一個(ge) 具體(ti) 的關(guan) 鍵段落存在“無法修補的嚴(yan) 重缺陷”。作為(wei) 數論領域的權威，朔爾策在接受采訪時表示：“我認為(wei) ABC猜想依然是開放的，任何人都有機會(hui) 證明這個(ge) 猜想。”

2020年4月3日，望月新一在數理解析研究所的兩(liang) 位同事召開新聞發布會(hui) 宣布，望月新一關(guan) 於(yu) ABC猜想的證明終於(yu) 被學術期刊接收、即將正式發表，而接收這些論文的期刊正是PRIMS。

不過，論文被接收的消息，似乎也沒有讓更多數學家轉移到望月新一的陣營。“我可以肯定地說，在2018年之後，學界的態度沒有太大的變化，”加州大學聖迭戈分校的數學家基蘭(lan) ·凱德拉亞(ya) （Kiran Kedlaya）說。他曾花了數年時間，試圖證明ABC猜想。

需要指出的是，數學家在自己擔任編輯的學術期刊上發表論文，其實並不罕見。東(dong) 京大學科維理物理和數學研究所的數學家中島啟（Hiraku Nakajima）說，隻要作者回避同行評議流程，“這種情況沒有違背任何規則，也很常見。”

在數學界，論文被接收通常並不是同行評議的終點，隻有在同行達成共識後，結論才能稱得上真正成立。而這個(ge) 過程，可能需要花費數年時間。

對於(yu) 望月新一的工作來說，“結果不會(hui) 是要麽(me) 完全正確，要麽(me) 毫無可取之處。”埃倫(lun) 貝格說。即使ABC猜想的證明沒有實現，他的方法與(yu) 觀念仍能夠緩慢滲透到整個(ge) 數學界，研究者可能會(hui) 發現它們(men) 在別的方麵有用。“基於(yu) 我對望月新一的了解，我的確認為(wei) 這些文件中極有可能包含著有趣或者重要的數學。”埃倫(lun) 貝格說。

但事情也有向另一個(ge) 方向發展的風險，埃倫(lun) 貝格補充道：“我想，如果我們(men) 將它忘記，那可就太糟糕了。”

撰文：達維德·卡斯泰爾韋基（Davide Castelvecchi） 編譯：吳非

參考鏈接：

https://www.scientificamerican.com/article/mathematical-proof-that-rocked-number-theory-will-be-published/

《給宇宙帶來革命的數學證明？》（《環球科學》2015年12期）



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