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我們(men) 在三維空間中構造出一個(ge) 表麵積無窮大，但體(ti) 積卻是有限的形狀。如下圖所示，可以看出這個(ge) 形狀類似樂(le) 器——小號，又稱為(wei) 加百利號角。
這個(ge) 號角的怪異之處就在於(yu) ：如果你想要向裏麵灌水去填滿它，這是可以做到的；但如果你想用油漆將其表麵都刷一遍，那麽(me) 不好意思，這個(ge) 辦不到。因為(wei) 理論上你需要無窮多的油漆才能刷滿它。
乍一聽，可能很多朋友都不相信，怎麽(me) 可能有這種東(dong) 西呢？但實際上當初提出這個(ge) 設想的可是正正經經的科學家——埃萬(wan) 傑利斯塔·托裏拆利。沒錯就是我們(men) 中學時代，物理課上講的那個(ge) 測量大氣壓的托裏拆利。
其構思是在數學層麵進行的，過程很簡單：我們(men) 設想將反比例函數y=1/x，其中沿x大於(yu) 等於(yu) 一的部分，繞著x軸旋轉一圈，就可以得到這麽(me) 一個(ge) 形狀，長的和小號很像。
這時候，托裏拆利就想去計算這個(ge) 小號的麵積和體(ti) 積是多少？值得注意的是，當時距離微積分的出現還有幾十年呢。因此托裏拆利隻能用當時數學中的卡瓦列利原理（這個(ge) 卡瓦列利原理，實際上就是中國的祖暅原理，但祖暅原理要比其早了一千年），之後托裏拆利得到這個(ge) 小號的表麵積無窮大，但體(ti) 積卻是一個(ge) 有限值。
這個(ge) 結論讓人非常驚訝，因為(wei) 從(cong) 直觀上來講，一個(ge) 物體(ti) 在體(ti) 積有限的情況，它的表麵積竟然是無窮大的，難以想象它的存在。
沒錯，因為(wei) 這個(ge) 小號過於(yu) 違背人們(men) 的直覺，以至於(yu) 當時英國著名的哲學家托馬斯·霍布斯直呼：如果你想要從(cong) 感官上去理解它，隻有瘋子才能辦到！
當時的數學界也是議論紛紛，直到後來微積分出現後，人們(men) 利用微積分再次對其驗證，結果發現結論是正確的，確實是麵積無窮大，體(ti) 積有限，且體(ti) 積值為(wei) Π。
圖中出現的就是利用微積分計算麵積和體(ti) 積的算式，可以看到用到的微積分星空体育官网入口网站都是相當基礎的。
實際上關(guan) 於(yu) 這個(ge) 爭(zheng) 論，從(cong) 客觀世界出發，並沒有多燒腦，因為(wei) 數學圖像是理想模型，這個(ge) 小號就是一個(ge) 長度無限的曲麵，毫無厚度可言，而且它根本不需要考慮微觀層麵的物質構成。
就好比於(yu) ，在數學上我們(men) 可以說一條線、一個(ge) 麵。但實際上，隻有長度，卻沒有厚度和寬度的線；以及隻有長度和寬度，卻沒有厚度的麵，二者在客觀世界中我們(men) 根本造不出來。
因此這個(ge) 小號也是造不出來的，所謂的悖論也隻是存在於(yu) 人們(men) 的直覺感受上而已。
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