本文是關(guan) 於(yu) 一個(ge) 虛構的對象，稱為(wei) 帶一個(ge) 元素的域，有時表示為(wei) F_un。F表示域，而“un”表示1。當我第一次聽說這個(ge) 的時候，我以為(wei) 這是一個(ge) 笑話。對象是“Fun”，它並不存在。

但是很多偉(wei) 大的數學家已經在這方麵做了很多研究，如雅克·提茨（Jacques Tits），阿蘭(lan) ·康尼斯（Alain Connes），尤裏·曼寧（Yuri Manin）等等。

一個(ge) 精妙的公式可能會(hui) 對數學的多個(ge) 分支產(chan) 生重大影響，包括計算複雜性理論、非交換幾何學和代數數論等。

本文將集中討論為(wei) 什麽(me) 它可能對黎曼猜想有所幫助。讓我們(men) 開始吧。

域是什麽？

域是數學的基本對象之一。域是一個(ge) 具有兩(liang) 個(ge) 操作（加法和乘法）的集合，其中有一個(ge) 加法的單位（0）和一個(ge) 乘法的單位（1），每個(ge) 元素（除了0）對這兩(liang) 個(ge) 操作都有一個(ge) 逆。

域有很多種，其中實數域ℝ最容易理解。每個(ge) 實數都有一個(ge) 加法的逆元素。例如，3的加性逆元素是-3，因為(wei) 3+（-3）=0。每一個(ge) 非零實數都有一個(ge) 乘法的逆元素。例如，3的乘法逆元素是（1/3）。這是因為(wei) 3*（1/3）=1。

同理，有理數集ℚ也是一個(ge) 域。還有ℂ，也就是複數（虛數）的集合也是一個(ge) 域。

並不是所有數字係統都是域。整數集合ℤ不能構成一個(ge) 域，因為(wei) 雖然有加法和乘法運算，但3沒有乘法逆（1/3不是整數）。

並不是所有的域都是無限的。實際上，帶有“mod 3”算術的整數（表示為(wei) ℤ/3）是一個(ge) 包含三個(ge) 元素{0，1，2}的域。

Mod 3算術可以正常的加和乘，然後像時鍾一樣循環：0，1，2，3 = 0，4 = 1，5 = 2，6 =0，……（負號也可以，-1=2，等等）。

我們(men) 可以驗證一下：

• 1 + 2 = 0。這表明1是2的加法逆元素（反之亦然）。
• 2 * 2 = 4 = 1。這表明2是它自己的乘法逆元素。

這是唯一兩(liang) 個(ge) 很難驗證的數字，所以ℤ/3確實是一個(ge) 域。

在這一點上，域是很容易理解的。注意到在有限域的情況下會(hui) 發生一些奇怪的事情。如果你把1和它自己相加3次，你會(hui) 得到加法恒等式1+1+1=0。但如果你在無限域中這樣做，這永遠不會(hui) 發生。

如果將1和它自身相加有限次得到0，相加的次數被稱為(wei) 域的特征。我們(men) 用字母p表示。ℤ/3的特征是3。

如果1和它本身相加不管你做多少次都不會(hui) 得到0，那麽(me) 這個(ge) 域的特性就是0。

重要術語：我將在本文中繼續提到正的特性。這是表示特征不等於(yu) 0的標準方法。換句話說， p>0。

大多數關(guan) 於(yu) 抽象代數的第一門課程都會(hui) 證明一個(ge) 驚人的事實，即在有限域的情況下，這個(ge) 特征總是一個(ge) 素數！此外，有限域的元素數總是這個(ge) 素數的冪，即pⁿ（p是這種域的特征）。

相反，對於(yu) 任何素數冪，都有一個(ge) 顯式的構造，用於(yu) 包含這麽(me) 多元素的域。因此，域有2個(ge) 元素，3個(ge) 元素，4個(ge) 元素，5個(ge) 元素，7，8，9，等等。沒有包含6個(ge) 或10個(ge) 元素的域。

為(wei) 了完備起見，並不是所有的無限域都具有0的特征。這種有限的解釋很容易讓人產(chan) 生錯誤的印象。

這給我們(men) 帶來了一個(ge) 關(guan) 鍵問題，沒有一個(ge) 域隻有一個(ge) 元素！（也就是說，1不是素數冪）。

在深入討論這個(ge) 問題之前，讓我們(men) 先繞個(ge) 圈子，看看為(wei) 什麽(me) 有人會(hui) 希望有這樣一個(ge) 東(dong) 西。

有限域上的黎曼假設

這才是真正酷的地方。

事實證明，在正特征域上“做幾何”通常比在0特征上更容易。我就不細說原因了。

因此，有時這是一個(ge) 很好的工具，你可以把你想要證明的東(dong) 西通過ℂ簡化為(wei) 正的特性，在那裏證明它，然後試圖以某種方式把它提升到0特征（這實際上是本文的一個(ge) 主要觀點）。

要定義(yi) 幾何在正特性中的含義(yi) 有點複雜，但我們(men) 可以依靠一個(ge) 相當準確的類比。ℝ或ℂ上的幾何隻是研究由多項式的零集形成的形狀。

所以，如果在ℝ上，有兩(liang) 個(ge) 變量，一個(ge) 多項式p（x，y）=y-x²，當它等於(yu) 0時，你得到的幾何圖形就是拋物線：

x²= 0

或者大家更熟悉的y=x²：

後續我將在另外兩(liang) 篇文章中討論ℂ上的其他理論（霍奇猜想、法爾廷斯定理和莫德爾猜想猜想）。

當你在ℚ上這樣做時，你會(hui) 發現拓撲結構和整數解的數量（費馬最後定理等）之間有一個(ge) 有趣的相互作用。

我們(men) 可以在有限域上做同樣的事情。域ℤ/3上的多項式p（x，y）=y-x²的幾何形式來自於(yu) 代入並檢查零集。它更難想象成“幾何圖形”，但實際上更容易處理，因為(wei) 它是有限的。

實際上，我們(men) 可以確定{（0，0），（1，1），（2，1）}是僅(jin) 有的三個(ge) 點。我省略了一些重要的細節，但這種思考方式對於(yu) 獲取要點來說已經足夠好了。

ζ函數（Zeta Functions）

假設我們(men) 從(cong) 一個(ge) 有限域開始，該域上有p個(ge) 元素，比如F，和一條“曲線”C（為(wei) 簡單起見，多項式的零集）。

我們(men) 可以計算C的點數，N（1）。

然後我們(men) 可以在有p^2元素的域上看同樣的方程，把它叫做N（2）等等。

所以N是一個(ge) 函數。N（k）就是C在有p^k個(ge) 元素的域上的點數。

下一部分看起來很複雜，但它會(hui) 大大簡化。

考慮到函數：

C的局部ζ函數定義(yi) 為(wei) ：

這可能看起來很瘋狂，但我們(men) 可以通過一個(ge) 例子很容易地看出，定義(yi) 的構造是為(wei) 了消去和簡化。

如果我們(men) 從(cong) 多項式p（x）=x開始，那麽(me) 任意域上x=0的唯一解就是x=0。

無論我們(men) 檢查多少個(ge) 域，都隻有一個(ge) 點。因此，對於(yu) 所有k, N（k）=1。

讓我們(men) 代入：

因此：

韋爾猜想是由安德烈·韋爾（André Weil）在1949年提出的關(guan) 於(yu) 任意X（不隻是曲線或點，也包括高維空間）的Z（X，t）猜想。從(cong) 那時起，他們(men) 一直是代數和算術幾何研究的主要驅動力之一。

數學家們(men) 用了幾十年的時間證明了它們(men) ，並且發現了許多現代的替代證明。關(guan) 鍵的結論是，韋爾猜想之一就是這些函數的“黎曼猜想”。韋爾自己證明了有限域上曲線的黎曼猜想。

通過適當的幾何機製，證明是相對容易的。

隻有一個元素的域

我們(men) 終於(yu) 準備好討論隻有一個(ge) 元素的域了。

記住，它不存在。

但我們(men) 的想法是建立一些東(dong) 西讓我們(men) 可以做一種廣義(yi) 幾何。思考一下ℤ，它的性質是“減少mod p”，對於(yu) 任何素數p都會(hui) 給我們(men) 一個(ge) 有p個(ge) 元素的域（這是我們(men) 之前定義(yi) 有p個(ge) 元素的域的方式）。

這個(ge) 事實可以用幾何的方法來重新表述。有一個(ge) 幾何空間，X=Spec（ℤ），所以，對於(yu) 每個(ge) 質數p，減少mod p得到有p個(ge) 元素的域上的1個(ge) 點，Fₚ。

我們(men) 已經算出了一個(ge) 點的局部ζ函數，它是1 / (1 - t)。

但是我們(men) 通過減少mod p來得到一個(ge) 局部的ζ函數。當你將這些結合在一起得到X的“全局”ζ函數時，正確的方法是相乘並追蹤素數 （t→p⁻ˢ），我們(men) 可以得到：

黎曼ζ函數的乘積形式。這就是我們(men) 一直在找的東(dong) 西。

如果有一個(ge) 叫做F_un的東(dong) 西,它的作用就像一個(ge) 有限域，我們(men) 可以把X=Spec（ℤ）當做它上麵的一條曲線然後，用韋爾定理來證明黎曼猜想。

數學家們(men) 在這方麵已經做了一些非常了不起的工作。也許有一天我們(men) 會(hui) 有一個(ge) 證明黎曼猜想的Fun。


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