在我們(men) 開始對方程本質進行相當直觀的研究之前，我們(men) 需要記住，方程是一個(ge) 關(guan) 係式，而這個(ge) 關(guan) 係式可以用不止一種方式來表示。

在整篇文章中，重要的是你要忘記你以前學到的舊的慣例，因為(wei) 這是一種全新的思維方式。

介紹

在學校裏，我們(men) 都知道方程就像一個(ge) 天平。如果你在一邊加上一個(ge) 數字，你需要在另一邊加上相同的數字。當然，其他操作也是如此。

這意味著，一個(ge) 方程，即使它隻表示一個(ge) 東(dong) 西，也可以用不止一種方式表示。例如，讓我們(men) 看一下等式a + b = c，其中a，b，c是滿足這個(ge) 等式的任意數。

這種關(guan) 係實際上可以用三種不同的方式來表示，即：

1. a + b = c
2. a = c - b
3. b = c - a

注意，在這三種表示中，a和b都顯示了一種對稱關(guan) 係，你可以在不改變關(guan) 係本身的情況下對它們(men) 置換。

如果你在第一個(ge) 方程中交換它們(men) ，表達式保持不變，因為(wei) a + b = b + a，如果你在第二個(ge) 方程中交換它們(men) ，你得到第三個(ge) ，反之亦然，但你沒有改變它們(men) 之間的關(guan) 係。

注意，如果你交換a和c，這就不成立了！

一定有一種方法可以將對稱性和所有的表現形式一起展示在一個(ge) 物體(ti) 上，然後就會(hui) 有一些關(guan) 於(yu) 不對稱的規則。

可視化方程

我建議使用數學圖表。圖由節點和連接節點的邊（關(guan) 係）組成。

例如，你可以把微信這樣的社交網絡看作一個(ge) 巨大的圖表，其中的人是節點，友誼是邊。

我們(men) 的方程圖中的節點和邊將分別是數字和數字之間的運算。通過這種方式，我們(men) 將所有表示封裝在一個(ge) 對象中。

讓我給你一個(ge) 新的符號，然後解釋為(wei) 什麽(me) 它這麽(me) 棒。

下麵的圖（三角形）表示了等式a + b = c。

首先，注意到c的邊是以箭頭的形式指向a和b的（仔細看）。

這顯示了c和其他兩(liang) 個(ge) 數字之間的不對稱性。我們(men) 稱它為(wei) 加法圖。

那麽(me) 我們(men) 該如何解讀呢?

你可以用三種方式來閱讀這張圖。規則是，如果你遵循兩(liang) 個(ge) 節點（數字）之間的一條邊，那麽(me) 無論這個(ge) 和或差對應的是什麽(me) ，都等於(yu) 剩下的數字。

如，在上麵的三角形中。如果我們(men) 沿著有向邊從(cong) c到a，那麽(me) c - a = b；如果我們(men) 沿著另一條有向邊從(cong) c到b，那麽(me) c - b = a；如果沿著連接a和b的這條邊，我們(men) 會(hui) 得到a + b = c。

這是學生學習(xi) 如何解方程的一個(ge) 很好的記憶法則。

如果等式兩(liang) 邊都包含運算呢？

下麵是方程a + b = c + d的圖解。

請注意，這與(yu) 上麵的邏輯是一致的。無論a + b是什麽(me) ，它都是由中間的空節點表示的，如果我們(men) 從(cong) 空節點開始跟蹤這個(ge) 節點到後麵的數字d那麽(me) 就有a + b - d = c。

我們(men) 不會(hui) 就此止步。我們(men) 有另一個(ge) 三角形，有著完全相同的圖案，但操作不同——乘法圖。

假設我們(men) 有一個(ge) 這樣的方程a⋅ b = c，這同樣有三種表示。

1. a ⋅ b = c
2. a = c / b
3. b = c / a

讓我們(men) 在下麵的圖中表示這些關(guan) 係。

我們(men) 不需要用顏色編碼這些圖形，但是稍後會(hui) 有幫助的，你們(men) 很快就會(hui) 看到。再次注意到a和b之間的對稱以及a和c，b和c之間的斜對稱。

當然，同樣的規則也適用於(yu) 這個(ge) 三角形，也就是，我們(men) 遵循一條邊，它對應的計算結果等於(yu) 剩下的節點。你可以在這個(ge) 圖中檢查這個(ge) 規則是否正確。

我們(men) 把它們(men) 結合起來解一個(ge) 方程，這就等於(yu) 用直線的y坐標求出x坐標的表達式。

解方程，寫出等式

假設有以下方程，我們(men) 需要解出x：

我們(men) 將用我們(men) 的新工具一步解決(jue) 這個(ge) 問題！

讓我們(men) 看看這個(ge) 方程在圖中是什麽(me) 樣的。

這裏的邏輯是，無論ax的值是什麽(me) （由相乘三角形頂部的未標記頂點表示，如果我們(men) 將它與(yu) b相加，我們(men) 得到y）。

現在我們(men) 可以通過沿y到b的邊折疊加法三角形到未知的藍色頂點。我們(men) 得到：

我們(men) 可以通過從(cong) y-b到a的這條邊直接從(cong) 這個(ge) 三角形中得出答案：x = (y - b) / a。

算術規則

讓我們(men) 來陳述一些規律，然後用我們(men) 新的視覺語言把它們(men) 寫(xie) 下來。

例如，我們(men) 有結合律，即a + （b + c） = （a + b） + c。

這可以用一張圖來表示。

同樣，我們(men) 可以寫(xie) 出分配律， a ⋅ （b + c） = a ⋅b + a ⋅ c，如下：

你也可以自己找到其他的法則。

分數法則

有些東(dong) 西我們(men) 還沒討論。它是這樣的：

如果你把兩(liang) 個(ge) 數字排列成不對稱的關(guan) 係會(hui) 發生什麽(me) ？

讓我們(men) 看看a + b = c三角形。

例如，如果我們(men) 交換a和c，那麽(me) 等式就不再成立了，但是，如果我們(men) 用-b替換b，那麽(me) 三角形就會(hui) 顯示出正確的關(guan) 係。

將上麵的三角形與(yu) 下麵的三角形進行比較：

這個(ge) 三角形的關(guan) 係為(wei) ：

1. a - c = -b
2. a - -b = a + b = c
3. c + -b = c - b = a

這個(ge) 反對稱也存在於(yu) 相應的乘法三角形中。回想一下，分數a/b的倒數是b/a。你隻需要交換分子和分母就可以得到有理數的倒數。

假設你忘記了如何用分數除一個(ge) 數，比如c/(a/b)是多少？但是你要記住ac/ bc = a/b。

這裏有個(ge) 技巧，ac/(bc) = a/b可以寫(xie) 成如下形式：

根據上麵關(guan) 於(yu) 乘法三角形的不對稱規則，這等價(jia) 於(yu) ：

這就是c/（a/b） = bc/a，這就是除以分數的規則（乘以它的倒數）。

這種解方程的方法我們(men) 隻觸及了表麵，可能還有許多有趣的模式有待探索。


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