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前蘇聯有一位數學、物理、天文學方麵的科普作家，名字叫別萊利曼。他一生中寫(xie) 了105本科普作品，其中最為(wei) 有名的是《趣味物理學》。

雅科夫·伊西多羅維奇·別萊利曼

前兩(liang) 天，我在他寫(xie) 的另一本書(shu) 《趣味數學》上，看到了一個(ge) 有趣的問題。原題是以列寧格勒為(wei) 例子，我把它修改成了以北京為(wei) 例，題目如下：

如果一架飛機從(cong) 北京出發，先向北飛2000km，再向西飛2000km，再向南飛2000km，再向東(dong) 飛2000km，現在飛機在哪裏？

我把題目發到網上之後，網友回答非常踴躍，而且答案千奇百怪：有的說回到了北京，有的說跟地球自轉有關(guan) ，有的說跟飛機高度有關(guan) ，還有的說飛機沒油了掉海裏的。

其實，這是一個(ge) 純粹的中學地理和數學問題，並不是腦筋急轉彎。今天我們(men) 就來研究一下，飛機究竟在哪裏？

一、球麵上的短程線

首先要了解的是：地球是一個(ge) 球體(ti) ，球麵上的幾何學與(yu) 平麵上的幾何學是不同的。之前我們(men) 也曾經討論過：在平麵上，我們(men) 使用的幾何叫做歐幾裏得幾何。如果在一個(ge) 馬鞍麵（雙曲麵）上，應該使用羅巴切夫斯基幾何；如果在橢球麵上，就要用到黎曼幾何。這些幾何的特點是不同的。

歐式幾何、羅氏幾何、黎曼幾何上的三角形

比如在平麵上，過直線外一點隻有一條直線的平行線，三角形的內(nei) 角和是180度；而在羅氏幾何中，過直線外一點有多條直線的平行線，三角形內(nei) 角和小於(yu) 180度；在黎曼幾何中，情況又不同：過直線外一點一條直線的平行線都沒有，三角形內(nei) 角和大於(yu) 180度。

     再比如：平麵上，兩(liang) 點之間直線段最短。如果地球是一個(ge) 平麵，從(cong) 北京出發經過四個(ge) 方向各2000km的運動，最後一定會(hui) 回到北京，並且形成一個(ge) 正方形。

平麵上的正方形

可是在球麵上，情況並非如此。球麵上並沒有通常意義(yi) 的直線，球麵上的所有線都是彎曲的。不過，從(cong) 一點出發到另一點，依然有一個(ge) 最短路徑，稱之為(wei) 短程線。

具體(ti) 來講：如果我們(men) 想知道從(cong) 球麵上一點A到另一點B怎麽(me) 走最短，應該使用如下的方法：首先過A、B和球心O做一個(ge) 平麵，這個(ge) 平麵與(yu) 球體(ti) 相切，切麵是一個(ge) 圓。因為(wei) 這個(ge) 圓的圓心就是球心，所以圓的半徑等於(yu) 球的半徑，這樣的圓是球裏所有圓形中最大的，稱為(wei) 球的“大圓”。

球麵上的短程線

 在這個(ge) 大圓上，A和B把圓周分成兩(liang) 端弧，其中比較短的一端弧（大圓劣弧）就是A和B之間的最短路徑，也叫作短程線。短程線就是球麵上的“直線”。

  明白了這個(ge) 概念，我們(men) 很容易理解為(wei) 什麽(me) 黎曼幾何中沒有平行線的概念：球麵上所有的大圓都是相交的。利用球麵上的“直線”，我們(men) 能畫出球麵上的各種圖形。比如，用三個(ge) 彼此垂直的平麵切割球麵，形成三段互相垂直的“直線”，構成一個(ge) 三角形ABC。這個(ge) 三角形的每條邊都相等，是個(ge) 等邊三角形。但是，它的每一個(ge) 角都是直角，內(nei) 角和居然有270度！這在平麵上是不可想象的，因為(wei) 平麵上的三角形最多隻能有一個(ge) 直角，而且內(nei) 角和是180度。

球麵上的直角三角形

      如果在地球上畫出這個(ge) 巨大的三角形，大約長這個(ge) 樣子。它告訴我們(men) ：如果你從(cong) 北極點沿著某條經線走到赤道（大約1萬(wan) 公裏），再左轉90度向東(dong) 走1萬(wan) 公裏，再左轉90度向北走1萬(wan) 公裏，你就能畫出一個(ge) 三個(ge) 角都是直角的等邊直角三角形了。

‍我們(men) 再來研究一個(ge) 簡單問題：如果我們(men) 買(mai) 一張機票從(cong) 北京起飛，飛到紐約，飛機會(hui) 經過哪裏？也許有人說：當然是走直線啦！飛機起飛後向東(dong) ，經過韓國、日本、太平洋，穿過美國大陸，然後到達美國東(dong) 海岸的紐約！

北京到紐約，是這麽(me) 飛麽(me) ？

    事實並非如此，北京起飛的飛機基本上會(hui) 一路向北，經過北極上空，再到達紐約，原因是這條航線就接近於(yu) 從(cong) 北京到紐約的“短程線”，說專(zhuan) 業(ye) 一點叫做“大圓航線”。飛機沿著大圓航線飛，航程是最短的。

北京到紐約的短程線

順便一說。我在某音上把這一段單獨截取發了出來，有作者指出我兩(liang) 個(ge) 問題：

第一，我說“飛機起飛後一路向北，飛過北極，再到紐約”說法有誤，因為(wei) 飛過北極之後就不再是向北了，而是向南！

第二，北京飛紐約的實際航線與(yu) 短程線不同，飛機會(hui) 多次調整航向，大約經過白令海峽北側(ce) ，阿拉斯加和加拿大，到達紐約，所以我說通過北極是錯的。

對於(yu) 第一個(ge) 閱讀理解問題，我不想評論。對於(yu) 第二個(ge) 問題，實際航線不可能是“嚴(yan) 格”的短程線，因為(wei) 需要考慮信風、機場、航域、操控等問題，但是大多是“接近”短程線的。而且，北極並非一個(ge) 點，而是一個(ge) 區域，北京飛紐約的航班進入了北極圈，經過“北極上空”的說法沒有問題。

二、飛機為(wei) 什麽(me) 飛不回去？

題目中的飛機從(cong) 北京起飛後，分別向北、西、南、東(dong) 四個(ge) 方向飛行，東(dong) 、西兩(liang) 個(ge) 方向，就指的是沿著緯線運動，緯線是平行於(yu) 赤道的圓。南北兩(liang) 個(ge) 方向，就是沿著經線運動，經線是連接地球南北兩(liang) 極的半圓。

經線和緯線

所有的經線都是一樣長的，但是越靠近北極，緯線就越短，越靠近赤道，緯線就越長。現在，我們(men) 把題目中飛機飛行的路徑畫在圖上，你就會(hui) 發現：飛機最後不會(hui) 回到出發點。

大致的飛行路線

仔細說說：假如飛機從(cong) 地球上的A點出發，沿著經線向北飛2000km到達B點，此時它所在的緯度變高了，緯線圈變小了。飛機繼而轉向西方，沿著緯線飛2000km到達C點，由於(yu) 緯線圈比較小，所以飛機跨越了比較多的經度。

飛機再向南，沿著經線飛2000km到達D點，此時它的緯度已經和出發點相同了。然後飛機再向東(dong) ，沿著緯線飛2000km到達E，你會(hui) 發現，飛機並沒有形成一個(ge) 正方形。這是因為(wei) 雖然BC和DE的飛行距離都是2000km，但是由於(yu) BC處緯度高，緯線短，跨越的經度大，DE處緯度低，緯線長，同樣飛行距離跨越的經度小。所以飛機現在依然在出發點的西側(ce) ，它還需要再飛行一段，才能回到出發點。一個(ge) 更好看的圖如下：

飛機的路徑ABCDE

三、飛機到底在哪裏？

現在，我們(men) 就來計算一下題目中的飛機最後到底在哪裏，我們(men) 要依次計算出A、B、C、D、E五個(ge) 點的坐標，最後找到E點的位置。

首先，北京的坐標大約是A（40oN，116oE），它先向北飛行2000km，到達B點，從(cong) 下圖可知：二者緯度差大約為(wei) 18度，於(yu) 是B點的坐標是（58oN，116oE）。根據三角函數關(guan) 係，還可以計算出A和B兩(liang) 個(ge) 點到地軸的距離RA和RB，這實際上就是北緯40度和北緯58度兩(liang) 條緯線的半徑，這個(ge) 數據在一會(hui) 兒(er) 的計算中會(hui) 很有用。

直觀圖，圖中橢圓表示赤道平麵

下麵我們(men) 計算下一個(ge) 轉角C點的坐標。這需要畫一個(ge) 從(cong) 北極上空的俯視圖。從(cong) 這個(ge) 角度看去，A所在的緯線圈半徑RA比較大，B和C所在的緯線圈半徑RB比較小。經過2000km，BC之間夾角大約34度，這說明B和C的經度相差34度，C點在B的西側(ce) ，所以經度是116度-34度=82度，也就是C的坐標C（58oN, 82oE）。

   北極上空俯視圖

  繼續，從(cong) C點沿著經線向南，再走2000km到達D，就會(hui) 回到A所在的緯線圈。此時D和C依然在同一根經線上，所以D點的緯度和A相同，經度和C相同，經緯度是D（40oN，82oE）。

北極上空俯視圖

最後，飛機從(cong) D點沿著緯線向東(dong) 飛2000km，就是沿著俯視圖中A和D所在的圓向著A運動。飛行2000km後，到達E點，可以算出DE之間的夾角是23.5度，這也是D和E的經度差，E點的經度是82+23.5=106度，即E點經緯度（40oN，106oE）。

北極上空俯視圖

  由此，我們(men) 計算出了飛機經過的幾個(ge) 位置，你會(hui) 發現最終飛機的緯度回到了與(yu) 北京相同緯度的地方，但是經度卻差了大約10度，飛機的確沒有飛回北京。如果我們(men) 在地圖上查閱北緯40度，東(dong) 經106度，會(hui) 發現是在內(nei) 蒙古自治區阿拉善盟阿拉善左旗的位置，在北京西側(ce) 800多公裏處。

阿拉善左旗

最後留個(ge) 思考題吧。根據我們(men) 剛才所講的：隻有球麵上的短程線（大圓的弧）才能算是球麵上的“直線”，所以經線都是直線，而緯線中隻有赤道才算直線。飛機沿著非赤道緯線向東(dong) 西飛行時，走的都不是直線。

假如你還是乘坐一架飛機從(cong) 北京出發，沿著直線向北飛行2000km，然後左轉90度角，繼續沿著直線飛行2000km，再次左轉90度角，再沿直線飛行2000km，再左轉90度角，再沿直線飛行2000km，經過三個(ge) 轉角和4個(ge) 2000km後，你現在在哪裏？

知道這個(ge) 答案的小夥(huo) 伴，請在在評論區留言。

來源： 李永樂(le) 老師

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