本文係馮(feng) ·諾伊曼誕辰120周年紀念文章的下篇。在上篇中，著名數學家烏(wu) 拉姆主要介紹了馮(feng) ·諾伊曼在數學，特別是數理邏輯、集合論、希爾伯特空間和算子理論等方麵的工作；而在下篇中將介紹他在理論物理、博弈論、數值計算、計算機理論以及曼哈頓計劃中的貢獻。馮(feng) ·諾伊曼在如此廣泛的領域進行了深入的探索，不禁會(hui) 讓人想問：他的研究是否有一條連續的脈絡？作為(wei) 一名問題解決(jue) 者，或許我們(men) 能從(cong) 他對實際問題的處理上看到其更深遠的目標與(yu) 理想，以及他為(wei) 什麽(me) 能成為(wei) 現代計算機之父。

撰文 | 斯塔尼斯拉夫·烏(wu) 拉姆（Stanisław Ulam）

翻譯 | 圓圓

理論物理

範·霍夫（Léon Van Hove）教授在《馮(feng) ·諾伊曼對量子理論的貢獻》（Von Neumann's contributions to quantum theory）描述了他在理論物理方麵的工作。

在之前提到的美國國家科學院的調查問卷中，馮(feng) ·諾伊曼選擇了量子理論的數學基礎和遍曆定理作為(wei) 他最重要的科學貢獻 (以及前文討論的算子理論)。這種選擇，或者更確切地說是限製，對大多數數學家來說可能很奇怪，但在心理學上卻很有趣。這似乎表明，也許他的主要願望和最強烈的動機之一是，重建數學在理論物理學概念層麵（conceptual level）的作用。自第一次世界大戰結束以來，抽象數學研究和理論物理主流思想的分離是不可否認的。馮(feng) ·諾伊曼經常表示擔心，數學可能無法跟上物理學中呈指數增長的問題和思想。記得在一次談話中，我提出了擔憂：可能會(hui) 出現某種馬爾薩斯1式的分歧——物理科學和技術以幾何級數增長，而數學以算術級數增長。他說這確實可能會(hui) 這樣。然而，在後來的討論中，我們(men) 都堅持希望數學方法會(hui) 在很長一段時間內(nei) 保持對精確科學的概念上的控製！

論文[7]2是馮(feng) ·諾伊曼與(yu) 希爾伯特以及諾德海姆（Lothar Nordheim）3合著的。根據其序言，它基於(yu) 希爾伯特於(yu) 1926年冬天關(guan) 於(yu) 量子理論新發展的演講，並在諾德海姆的幫助下完成。根據引言，這篇論文的重要數學部分和討論是馮(feng) ·諾伊曼給出的。

本文的既定目的是引入概率關(guan) 係，而不是經典力學中嚴(yan) 格的函數關(guan) 係。它還以一種相當簡單和更易於(yu) 理解的方式闡述了約爾當和狄拉克的思想。即使在30年後的今天，馮(feng) ·諾伊曼的這篇論文以及他在這方麵的後續工作，其曆史重要性和影響也很難被高估。希爾伯特在公理化方麵的偉(wei) 大綱領在這裏獲得了另一個(ge) 重要的應用，即物理理論與(yu) 相應數學係統之間的同構（isomorphism）。論文引言中明確指出，如果理論的形式化和其物理解釋沒有簡明扼要且完全地分開，人們(men) 就很難理解這個(ge) 理論。這種分離即是本文的目的，盡管人們(men) 承認在當時不可能進行完全的公理化。

我們(men) 可以在這裏補充一點，相對論性不變量子理論的這種完全公理化，將其應用於(yu) 核現象仍有待實現。4這篇論文概述了對應於(yu) 物理可觀測量的算符演算，討論了厄米特算符的性質——這些共同構成了《量子力學的數學原理》（Mathematische Begründung der Quantenrnechanik）一文的序言。

關(guan) 於(yu) 統計力學在量子理論中的作用和測量問題，馮(feng) ·諾伊曼明確且精準的想法見論文[10]5。他的名作《量子力學的數學基礎》（Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik），給出了公理化處理、測量理論和統計學的詳細討論。

在量子力學史上，至少有兩(liang) 項數學貢獻是重要的：狄拉克的數學處理並不總是滿足數學嚴(yan) 謹性的要求。例如，它假設每個(ge) 自伴隨算符都可以被對角化，這迫使人們(men) 為(wei) 那些無法做到這一點的算符引入狄拉克著名的“反常”函數。正如馮(feng) ·諾伊曼所說，先驗地看來，就像牛頓力學（當時）需要矛盾的無窮小演算一樣，量子理論似乎需要一種對無限多個(ge) 變量進行分析的新形式。馮(feng) ·諾伊曼所取得的成果表明事實並非如此。也就是說，變換理論（Transformation theory）可以建立在一個(ge) 明確的數學基礎上，不是細扣狄拉克的方法，而是通過發展希爾伯特的算子譜理論。特別是，這是通過他對無界算子的研究來實現的，超越了希爾伯特、裏斯（Frigyes Riesz）和施密特等人的經典理論。

第二份貢獻構成了他書(shu) 中第5章和第6章的重要內(nei) 容。它與(yu) 量子理論中的測量和可逆性問題有關(guan) 。幾乎從(cong) 一開始，當海森堡、薛定諤、狄拉克和玻恩的思想首次獲得轟動性的成功時，人們(men) 就提出了關(guan) 於(yu) 非決(jue) 定論在理論中的作用的問題，並提出建議：通過假設可能的“隱藏”參數（隱變量）來解釋這個(ge) 問題，這些參數在未來被發現時，將回到更決(jue) 定性的理論描述。馮(feng) ·諾伊曼證明，該理論表述的統計特征並不是由於(yu) 執行測量的觀察者的狀態是未知的。被觀察者和觀察者組成的係統會(hui) 導致不確定性關(guan) 係，即使人們(men) 承認觀察者的確切狀態。這被證明是先驗假設的結果，該假設涉及物理量與(yu) 希爾伯特空間中算子相關(guan) 聯的一般性質。6

這部著作以一種符合數學家氣質且技術上有趣的形式呈現了新量子理論的思想，這絕對是第一重要的貢獻。因為(wei) 它試圖對物理學家最初構思的理論——依靠並非人人理解的直覺——進行理性呈現；此外它也有巨大的教學價(jia) 值。雖然不能斷言這部著作能否為(wei) 此後發現的更令人困惑的物理現象引入了新穎的物理思想，畢竟薛定諤、海森堡、狄拉克和其他人在那些年裏構建的量子理論仍然隻是一個(ge) 不完整的理論骨架，馮(feng) ·諾伊曼至少為(wei) 其嚴(yan) 格處理提供了一個(ge) 邏輯上和數學上明確的基礎。

分析、數值計算和流體(ti) 動力學

在早期的論文[33]7中，馮(feng) ·諾伊曼通過簡單的幾何構造證明了變分法中Radó7的基本引理（此引理是說：函數z=f(x, y)滿足常數為(wei) Δ的李普希茲(zi) 條件，如果沒有最大傾(qing) 角Δ大於(yu) 的平麵與(yu) 由所給函數定義(yi) 的曲麵的邊界在三個(ge) 或更多點相交。）這篇論文的有趣之處還在於(yu) 其證明方法涉及到直接的幾何直觀（geometric visualizations），這在馮(feng) ·諾伊曼的已發表作品中並不多見。

論文[41]9是過去四分之一世紀中數學分析領域令人矚目的成就之一。它給出整個(ge) 領域第一個(ge) 精確的數學結果：嚴(yan) 格處理統計力學中的遍曆假設。馮(feng) ·諾伊曼受到了庫普曼（Bernard Koopman）10的啟發，後者曾發現有可能將哈密頓動力係統的研究簡化為(wei) 希爾伯特空間中算子的研究。使用庫普曼的表示，馮(feng) ·諾伊曼證明了現在所謂的弱遍曆定理，即測度空間上迭代的、保測度的變換的函數均值的依測度收斂。這一定理不久之後被伯克霍夫（G. D. Birkhoff）以幾乎處處收斂的形式加以強化，為(wei) 經典統計力學提供了第一個(ge) 嚴(yan) 格的數學基礎。該領域的後續發展以及這些結果的很多推廣已眾(zhong) 所周知，在此不再贅述。同樣，這種成功歸於(yu) 馮(feng) ·諾伊曼對集合論中受分析方法啟發的技巧的精通，並融合了其在希爾特空間算子方麵的獨創工作。

數學物理的另一個(ge) 領域也能夠在普遍意義(yi) 上用現代分析精確地研究。在這個(ge) 例子中，一開始同樣取得了巨大進展，但是當然，這個(ge) 故事還沒有結束；就經典動力學而言，對統計力學基礎的數學處理還遠遠不夠！擁有遍曆定理和度量可傳(chuan) 遞變換（metrically transitive transformations）11存在性的星空体育官网入口网站是非常好的，但這些事實隻是該主題的基礎。馮(feng) ·諾伊曼經常在談話中表達這樣一種感覺，即這一領域未來的進展將取決(jue) 於(yu) 這樣的定理——將在數學上對該學科後續部分進行令人滿意的處理。玻爾茲(zi) 曼方程需要一個(ge) 完整的數學理論，而係統趨於(yu) 平衡時的速率需要精確的定理。

馮(feng) ·諾伊曼的論文[86]14，也許不如它應有的那麽(me) 出名，它顯示出馮(feng) ·諾伊曼對近似問題和數值工作越來越感興(xing) 趣。在我看來，它具有非常可觀的教學價(jia) 值。他研究了當N很大時，有限個(ge) N×N矩陣的性質，以及N維複歐幾裏得空間上所有線性運算所構成的空間的行為(wei) 。文章直截了當，並且在前言中明確指出，與(yu) 通常的方法相比，這種研究極限情況（即無限維酉空間，就是希爾伯特空間）的漸近方法被無端地忽略了。（這種說法與(yu) 他在《量子力學的數學基礎》一書(shu) 的引言中表達的觀點幾乎相反，這是很奇怪的。）

概括來說，這篇論文討論如下問題：哪些N階矩陣的行為(wei) 或近似行為(wei) 表現得如同m階矩陣，（這裏m與(yu) N相比很小，而且是N的一個(ge) 因子）。近似行為(wei) 的概念在矩陣空間中的給定度量或偽(wei) 度量下變得精確。我想補充一點，這篇論文的基本論述特征值得稱讚，而這並非總能體(ti) 現在他對希爾伯特空間的研究中。

在與(yu) 巴格曼（Valentine Bargmann）和蒙哥馬利（Deane Montgomery）合作論文[91]15，馮(feng) ·諾伊曼的思想延續下來。文章包含了求解線性方程組的各種方法，並且從(cong) 中能看出馮(feng) ·諾伊曼已經開始考慮用當時已出現的電子機器進行運算的可能性。

對於(yu) 應用分析問題，戰爭(zheng) 年代產(chan) 生了對快速估算和近似結果的需求，這些問題往往不會(hui) 那麽(me) “幹淨”。也就是說，在數學上是“非齊次的”，除了要計算的物理現象的主要過程之外，還涉及許多外部擾動，其影響在附加變量中不能被忽視甚至不能被分離。這種情況經常出現在當今的技術問題中，迫使人們(men) 至少在最初階段采用數值方法，這樣做並不是因為(wei) 人們(men) 需要高精度的結果，而隻是為(wei) 了實現定性分析！那時馮(feng) ·諾伊曼對數值分析的興(xing) 趣大大增加，他意識到了這個(ge) 對數學純粹主義(yi) 者來說可能有些可悲的事實。

與(yu) 戈德斯坦（H. H. Goldstine）合寫(xie) 的文章[94]16中，他們(men) 研究了高階矩陣的數值反演問題，還試圖給出嚴(yan) 格的誤差估計，在反演~150階矩陣可實現的精度上獲得了有趣的結果。估計值是“在一般情形下”獲得的。（“一般”意味著在可信假設統計下，除了一組低概率集合，這些估計成立。）

由於(yu) 需要快速定位和回答數學物理和工程中的問題，快速電子計算機發展起來。作為(wei) 其副產(chan) 品，人們(men) 有機會(hui) 進行一些更好玩的工作！在一定程度上滿足人們(men) 對某些有趣整數序列的好奇心。一個(ge) 最簡單的例子是，在e和π的（無限不循環）小數點後幾萬(wan) 位內(nei) 某數字序列出現的頻率。人們(men) 在高等研究院的機器上進行了一次這樣的計算，給出了2的立方根作其連分式展開中前2000個(ge) 部分商（partial quotients）。無論問題多麽(me) 簡單, 約翰尼都對這樣的實驗工作很感興(xing) 趣。在洛斯阿拉莫斯關(guan) 於(yu) 這些問題的一次討論中，他要求給出“有趣”的數字來計算它們(men) 的連分數展式。我給出了一個(ge) 四次無理量y，它由方程 y=1/(x+y)給出，其中x=1/(1+x)，在它的展式中可能出現一些奇怪的規律。人們(men) 計劃計算許多其他數字，但我不知道這個(ge) 小項目是否真被實施過。

博弈論

博弈論成為(wei) 了如今數學領域快速發展的新篇章，它本質上是馮(feng) ·諾伊曼開創的。在發表本文的同期雜誌上，A. W. Tucker和H. W. Kuhn的文章18將會(hui) 介紹他在這一領域的基礎工作。”我隻想說，這些研究反映了他最為(wei) 豐(feng) 富、最有影響的工作。

1921年，博雷爾（Émile Borel）在Comptes-Rendus的一篇注記中，首次提出兩(liang) 個(ge) 遊戲玩家博弈策略的數學方案。而這門學科的真正建立，被認為(wei) 是源於(yu) 馮(feng) ·諾伊曼的論文[17]19。正是這篇文章中，馮(feng) ·諾伊曼證明了基本的“極大極小”（minimax）定理，並製定了n個(ge) 玩家（n≥2）之間博弈的一般方案。這些方案，除了對經濟學等領域中實際博弈的意義(yi) 和應用之外，還產(chan) 生了大量具有純粹數學意義(yi) 上新穎的組合問題。Min Max = Max Min 的定理，以及關(guan) 於(yu) 多變量函數的鞍點的存在性推論，都包含在他1937年的論文[72]20中。它們(men) 被證明是布勞威爾不動點定理和以下幾何事實的推廣的結果：設 S、T 是兩(liang) 個(ge) 分別包含

個(ge) 閉子集；假設對於(yu) S 的每個(ge) 元素x，集合Q(x)={y:(x, y)∈V}是非空的凸閉集；類似地，對於(yu) T中的每個(ge) 元素y，集合是P(y)={x:(x, y)∈W}非空的凸閉集，那麽(me) 集合V, W至少有一個(ge) 公共點。這個(ge) 定理，後來被角穀靜夫（Shizuo Kakutani）、納什（John Nash）、布朗（George W. Brown）和其他人進一步討論，它在證明“好策略”的存在性方麵發揮著核心作用。

博弈論，包括現在對無限博弈的研究（瑪祖爾（Stanisław Mazur）於(yu) 1930年左右在波蘭(lan) 首次提出）正繁榮發展。隻要參考三卷《對博弈論的貢獻》（Contributions to Game Theory）[102;113;114]21中包含的工作，就足夠說明這一領域思想的豐(feng) 富性——純數學意義(yi) 下的各種巧妙表述以及日益增多的重要應用；這裏還有非常多陳述簡單卻尚未解決(jue) 的問題。

經濟學

奧斯卡·摩根斯特恩（Oskar Morgenstern）和約翰·馮(feng) ·諾伊曼（John von Neumann）的經典論文《博弈論與(yu) 經濟行為(wei) 論》（Theory of Games and Economic Behavior）[90]22以純數學形式對博弈論進行了闡述，並非常詳細地描述了其在實際博弈中的應用；並結合對經濟理論的一些基本問題的討論，引入了對經濟行為(wei) 和某些社會(hui) 學問題的不同處理方法。經濟學家奧斯卡·摩根斯特恩是馮(feng) ·諾伊曼在普林斯頓多年的朋友，他對經濟形勢的各個(ge) 方麵感興(xing) 趣，特別是兩(liang) 人及兩(liang) 人以上人之間的商品交換問題，壟斷、寡頭壟斷和自由競爭(zheng) 的問題。正是在嚐試討論這些過程的數學化中，這一理論開始形成了現在的雛形。

目前在“運籌學”、通信問題以及沃德（Abraham Wald）23的統計估計理論中的眾(zhong) 多應用，要麽(me) 源於(yu) 或正在借鑒這本專(zhuan) 著中提出的觀點或構思方案。我們(men) 甚至無法在本文中概述這些調查的範圍。有興(xing) 趣的讀者可以在赫維克茲(zi) （Leonid Hurwicz）24的著作《經濟行為(wei) 理論》（The theory of economic behavior）25和馬爾沙克（Jacob Marshak）26的著作《諾伊曼和摩根斯坦的靜態經濟學新方法》（Neumann's and Morgenstern's new approach to static economics）27中找對那些問題的描述。

動力學、連續介質力學與(yu) 氣象計算

在與(yu) 錢德拉塞卡（S. Chandrasekhar）共同撰寫(xie) 的兩(liang) 篇論文[84和88]28中，他們(men) 考慮了以下問題：假定質量中心隨機分布，比如在星團中的很多恒星或一團星雲(yun) ，這些大質量物質在運動且相互吸引。問題在於(yu) 探究引力場漲落的統計結果，並研究受不同局部分布變化影響的單個(ge) 質量的運動。在第一篇論文中，他們(men) 通過巧妙的計算解決(jue) 了引力的分布函數漲落速率的問題，並得到概率分布W（F, ƒ）的一般公式，其中F為(wei) 引力場強度，相關(guan) 的變化率ƒ是F關(guan) 於(yu) 時間的導數。得到的結果包括如下定理：對於(yu) 弱場，在給定時刻產(chan) 生作用的場發生變化的概率與(yu) 初始場的方向和大小無關(guan) ；而對於(yu) 強場，在初始場的方向上發生變化的概率，是在其垂直方向上發生變化概率的兩(liang) 倍。

第二篇論文致力於(yu) 統計分析作用於(yu) 恒星每單位質量的引力的漲落速度，恒星以速度V相對於(yu) 臨(lin) 近恒星做形心運動。這個(ge) 問題是在恒星以一致泊鬆分布且局部速度呈球形分布的假設下解決(jue) 的；他們(men) 也對不同質量的一般分布作了解答，給出作用於(yu) 兩(liang) 個(ge) 非常接近點的引力相關(guan) 的表達式。該方法給出了空間相關(guan) 性的漸近行為(wei) 。

馮(feng) ·諾伊曼長期以來對湍流現象感興(xing) 趣。我還記得1937年關(guan) 於(yu) 對納維-斯托克斯方程（Navier-Stokes equations）進行統計處理的可能性的討論，通過用無窮多個(ge) 全微分方程替代這些偏微分方程，從(cong) 而對流體(ti) 力學進行分析；而拉格朗日函數的傅裏葉展開式中的傅裏葉係數滿足這些全微分方程。馮(feng) ·諾伊曼於(yu) 1949年為(wei) 海軍(jun) 研究辦公室（Office of Naval Research）撰寫(xie) 的一份油印報告《湍流的近期理論》（Recent theory of turbules），對昂薩格爾（Lars Onsager）和柯爾莫哥洛夫（Andrey Kolmogoroff）的思想以及當時的其他工作進行了深刻而清晰的介紹。

隨著第二次世界大戰的開始，馮(feng) ·諾伊曼對可壓縮氣體(ti) 運動所帶來的問題進行了研究，特別是因其不連續性變化形成的令人困惑現象，例如衝(chong) 擊波（shocks）。

他在這一領域所做的大量研究，很大程度上是為(wei) 了解決(jue) 國防工作中出現的問題。它們(men) 以報告的形式發表，其中一些列在在附錄中。（編者注：請參見原文。）

本文無法概括他在這一領域如此豐(feng) 富多樣的工作，其中大部分作品都能反映出其銳利的分析技巧和慣常清晰的邏輯。在碰撞衝(chong) 擊相互作用的理論中，他的貢獻尤其值得注意。一個(ge) 成果是，他給出關(guan) 於(yu) 爆炸過程的Chapman-Jouguet假說（即由衝(chong) 擊引發的燃燒過程）的第一個(ge) 嚴(yan) 格論證。

關(guan) 於(yu) 衝(chong) 擊波反射理論的第一個(ge) 係統研究也出於(yu) 馮(feng) ·諾伊曼（Progress report on the theory of shock wave, NDRC, Div.' 8, OSRD, No. 1140, 1943 ；Oblique reflection of shocks, Navy Department, Explosive Research Report no. 12, 1943）。

如前所述，即使隻是在定性分析二維或三維中可壓縮介質的運動，就已經超過了目前顯示分析（explicit analysis）的能力。更糟糕的是，描述這類物理現象的理論的數學基礎，也許到目前為(wei) 止，還沒有建立起來。馮(feng) ·諾伊曼的觀點在 [108]29的評論中得到了很好的表達：

“關(guan) 於(yu) 人們(men) 通過數學推理找到的解是否真的發生在自然界中，以及是否可以事先排除某些具有好的或壞的特征的解的存在，這是一個(ge) 相當困難且模糊的問題。古典文獻和最近的文獻都對這一問題進行了研究，但它們(men) 的嚴(yan) 格性存在很大差異上，甚至在粗糙程度上也是如此。總而言之，在這一領域，要確定任何事情都十分困難。從(cong) 數學上講，我們(men) 處於(yu) 連續的不確定性狀態，因為(wei) 我們(men) 想要得到解存在性和唯一性的一般定理從(cong) 未被證明，並且其表麵形式很可能是不正確的。”

接著，他又寫(xie) 道：

“因此，在允許不連續性、要求合理的熱力學行為(wei) 等條件下，流體(ti) 力學中存在各種各樣的數學可能性。可能存在一組條件，在這種條件下，每個(ge) 合理陳述的問題存在一個(ge) 且隻有一個(ge) 解。然而，對於(yu) 它是什麽(me) ，我們(men) 隻能猜測；在尋找它的過程中，我們(men) 幾乎完全依賴物理直覺。因此，我們(men) 不可能對任何一點了解得非常明確。並且對於(yu) 任何已經得到的解，無論有多少把握，我們(men) 都很難說它就是在自然界中必定存在的解。”

如果隻是為(wei) 了對這些難題有啟發式的見解，人們(men) 必須訴諸於(yu) 特殊條件下的數值工作。在一係列報告中，馮(feng) ·諾伊曼討論了最佳數值過程、差分格式，以及計算方案的數值穩定性等問題。人們(men) 應該特別提到他與(yu) 克特邁耶（Robert D. Richtmyer）合作的論文[100]30，文章為(wei) 了不具體(ti) 地涉及衝(chong) 擊條件和不連續性，他們(men) 引入了一個(ge) 純數學的虛構的粘度，這就可以在不必明確假設衝(chong) 擊運動的情況下，遵循普通的流體(ti) 動力學方程，一步一步地計算衝(chong) 擊的運動。

關(guan) 於(yu) 地球大氣層運動的流體(ti) 動力學方程提出的令人生畏的數學問題，在相當長的一段時間內(nei) 讓馮(feng) ·諾伊曼著迷。隨著計算機的出現，至少對問題的簡化版本進行詳細的數值研究成為(wei) 可能，並且他開始了一項龐大的計劃。普林斯頓高等研究院成立了一個(ge) 氣象研究小組31；該小組的計劃是，通過越來越接近大氣真實性質的模型，逐步求解數值天氣問題。目前，即使在最先進的電子計算機上，對真正的三維運動進行數值研究也是不切實際的。（事實可能並非如此，比如五年後。編者注：本文寫(xie) 於(yu) 1958年。）

馮(feng) ·諾伊曼發起的第一個(ge) 高度模式化的計算，用於(yu) 處理二維模型，並且大部分是所謂地轉近似（geostrophic approximation）情況。後來，通過假設兩(liang) 個(ge) 或三個(ge) 二維模型以對應於(yu) 不同海拔高度或壓力水平的相互作用，可以執行所謂的“2 + 1/2”維流體(ti) 動力學計算。這個(ge) 問題在他的腦海中非常重要，不僅(jin) 因為(wei) 它具有的內(nei) 在數學興(xing) 趣，還因為(wei) 得到成功的解決(jue) 方案可能會(hui) 產(chan) 生巨大的技術影響。他認為(wei) ，隨著計算機的發展，以及我們(men) 對控製大氣過程的動力學的了解，我們(men) 正在接近實現天氣預報的水平。他還相信，人們(men) 能夠理解、計算，也許可以最終實現控製和改變氣候的過程。

在論文[120]32中，他推測在不久的將來，人們(men) 可以利用現有的巨大核能資源，產(chan) 生與(yu) “偉(wei) 大地球本身”33相同量級的大氣環流變化。在已經了理解物理現象的這些問題中，未來的數學分析可能會(hui) 使人類能夠極大地擴展控製自然的能力。

電子計算機理論與(yu) 實踐、蒙特卡羅方法

馮(feng) ·諾伊曼對數值工作的興(xing) 趣有不同的來源。一方麵源於(yu) 他最初關(guan) 於(yu) 形式主義(yi) 在數理邏輯和集合論中的作用的工作，他年輕時的工作廣泛涉及希爾伯特將數學視為(wei) 有限遊戲的綱領。另一個(ge) 同樣強大的動機來自他在數學物理問題方麵的工作，包括經典物理學中遍曆理論的純理論性研究以及他對量子理論的貢獻。隨著流體(ti) 力學和核能技術中出現的各類連續介質力學，所反映出的實際問題越來越多，這些直接變成了計算問題。

我們(men) 已經簡要討論了馮(feng) ·諾伊曼對湍流問題、連續介質的一般動力學和氣象計算的興(xing) 趣。我很清楚地記得，在洛斯阿拉莫斯項目的早期，顯然僅(jin) 靠分析工作往往不足以提供哪怕是定性的答案。對於(yu) 很多問題，手工進行數值工作，甚至使用台式計算器，都需要長到不能接受的時間才能解決(jue) 。這種情況似乎成為(wei) 馮(feng) ·諾伊曼的最終動力，促使他幹勁十足地投入到利用電子設備進行計算的研究中。

幾年來，馮(feng) ·諾伊曼一直認為(wei) ，在許多流體(ti) 力學問題中——在衝(chong) 擊波的行為(wei) 和傳(chuan) 播方麵，以及非線性偏微分方程所描述的現象涉及大位移的情況下（也就是說，線性化不足以接近真實描述），數值工作是必要的，以便為(wei) 未來的理論提供啟發式材料。

這種終極的必要性迫使他從(cong) 基礎上研究電子機器的計算問題，並且在1944年和1945年期間，他製定了現在所用的基本方法——將一組數學過程轉換為(wei) 計算機的指令語言。當時的電子計算機（例如ENIAC34）缺乏現在處理數學問題時所具有的靈活性和通用性。從(cong) 廣義(yi) 上講，每個(ge) 問題都需要一個(ge) 特殊且不同的布線係統，以使機器能夠按給定的順序執行規定的操作。馮(feng) ·諾伊曼的巨大貢獻在於(yu) ，他提出了“流程圖”（flow diagram）和“代碼”（code）的概念：前者讓機器的連接或電路固定但相當通用；後者能讓這組固定連接能夠解決(jue) 各種問題。雖然可以事後諸葛地說，提出這種布置的可能性對數理邏輯學家來說可能是顯而易見的，但以當時的電子技術，要實現並執行這種通用方法遠遠沒有那麽(me) 容易。

即使在這些方法問世十年後的今天，人們(men) 也很容易低估從(cong) 數學物理問題中誕生的這種理論試驗所能開辟的巨大可能性。這個(ge) 領域仍然很新，做出預言似乎有風險，但是在流體(ti) 力學、磁流體(ti) 力學和量子理論計算等許多方麵，（我們(men) ）已經積累了大量的理論實驗，因此我們(men) 可以期待從(cong) 這些計算中得到滿意的綜合理論。

計算機的工程設計在很大程度上歸功於(yu) 馮(feng) ·諾伊曼。機器的邏輯模式、內(nei) 存的相對作用、運行速度、基本“命令”的選擇以及當前機器中的電路，都深深帶有他思想的烙印。馮(feng) ·諾伊曼親(qin) 自監督普林斯頓高等研究院電子計算機的建造，以便熟悉所涉及的工程問題，同時掌握這種用於(yu) 新實驗的工具。甚至在機器竣工之前（花費的時間比預期的要長），他就將洛斯阿拉莫斯實驗室的某些問題設置在機器上，執行了大量計算。其中之一是關(guan) 於(yu) 熱核反應過程的問題，涉及超過十億(yi) 的基本算術運算和基本邏輯命令。這個(ge) 問題其實是要對反應傳(chuan) 播問題給出“是”或“否”的答案。人們(men) 並不關(guan) 心最終數據是否非常精準，但是為(wei) 了獲得原始問題的答案，所有中間的和詳細的計算似乎都是必要的。的確，對問題的某些要素的行為(wei) 進行猜測，再加上手工計算，可以對揭示最終答案起到相當大的作用。為(wei) 了提高這種通過直覺而獲得的估計的置信度，人們(men) 必須進行大量的計算工作。而這種情況在解決(jue) 數學物理和現代技術的某些新問題中，似乎相當普遍。描述這些現象時，我們(men) 不需要天文精度；而在某些情況下，如果對行為(wei) 的預測精度“高達10%”，人們(men) 就會(hui) 非常滿意。但在計算過程中，各個(ge) 步驟必須盡可能準確。數量巨大的基本步驟帶來了估計最終結果的可靠性問題，以及數學方法及其計算執行過程中的內(nei) 在穩定性的問題。

在馮(feng) ·諾伊曼獲得原子能委員會(hui) 的費米獎時，（委員會(hui) ）特別指出其在發展電子機器上進行計算的貢獻，這些貢獻在核科學和技術的許多方麵都很有用。

電子計算機的計算速度超過了手工計算的數千倍，這催生出很多全新方法——不僅(jin) 在經典意義(yi) 上的數值分析方麵，對於(yu) 數學分析本身的過程的基礎原理也是如此。沒有人比馮(feng) ·諾伊曼更清楚這裏的含意。

我們(men) 可舉(ju) 一個(ge) 小例子，用所謂的蒙特卡洛方法來說明。過去為(wei) 手工計算甚至是為(wei) 繼電器開發出的數值分析方法，對於(yu) 電子計算機來說，並不一定是最優(you) 的。比如，直接計算所需的值顯然比使用初等函數表更經濟。其次，對於(yu) 需要化簡積分方程來求積分之類的問題，現在完全可以通過一些非常複雜的算法求解，這些算法甚至無法用手工實現，但對於(yu) 新機器完全可行。

馮(feng) ·諾伊曼在二戰後的幾年裏發明了幾十種計算技巧，比如“子程序”（subroutines），用於(yu) 計算基本代數函數或超越函數；求解輔助方程，等等。順便說一句，其中一些工作尚未被數學界普遍知曉，而工業(ye) 界或政府項目中使用計算機的科研人員卻非常熟悉。這項工作包括，求矩陣的特征值和逆矩陣的方法；搜索多變量函數極值的簡潔方法；以及隨機數的產(chan) 生等。很多工作顯示了他在數理邏輯和算子理論的早期工作中所具有的典型的組合靈巧性，有些甚至可用技藝精湛形容。

19世紀人們(men) 所希望的數學物理原理的數學表述的簡潔性，在現代理論中似乎明顯缺失了。人們(men) 發現了基本粒子中令人困惑的多樣性和豐(feng) 富的結構，這似乎推遲了早期數學成為(wei) 整體(ti) 的希望。在應用物理學和技術問題中，人們(men) 不得不處理在數學上呈現不同係統混合的情況：例如，粒子係統除了本身行為(wei) 受力學方程控製，還有由偏微分方程描述的相互作用的電場；或者在產(chan) 生中子過程的研究中，除了中子係統之外，還要考慮從(cong) 這些粒子分離出的其他物質與(yu) 整個(ge) 係統相互作用的流體(ti) 力學和熱力學性質。

僅(jin) 從(cong) 組合學的角度來看，且不用說在處理偏微分和積分方程時的解析困難，很明顯目前找到閉合解（Closed-Form Solution35）希望渺茫。因此為(wei) 了探究這些係統的性質，即使隻是定性理解，人們(men) 被迫尋去找實際能用的方法。

我們(men) 決(jue) 定尋找這樣的方法，大致來說就是在數學模式中找到給定物理問題的同態象（homomorphic image），該模式可以由電子計算機處理的虛構“粒子”係統表示。特別是在涉及大量獨立變量的函數問題中，這種方法有用武之地。為(wei) 了給出這種蒙特卡洛方法的一個(ge) 非常簡單的具體(ti) 例子，我們(men) 考慮由一組不等式描述的給定n維“立方體(ti) ”的子區域的體(ti) 積估值問題。一般做法是將空間係統地分割為(wei) 格點來近似所需的體(ti) 積，而這種方法是可以以均勻的概率隨機地選擇空間中一些點，並（在機器上）確定這些點中有多少屬於(yu) 給定區域。根據概率論的基本事實，隻要采用足夠數量的樣本點，這個(ge) 比例就會(hui) 按我們(men) 所希望概率接近為(wei) 1，從(cong) 而給出相對體(ti) 積的近似值。

還有一個(ge) 稍微複雜的例子：考慮由一個(ge) 曲麵包圍的空間區域中的擴散問題，擴散粒子在曲麵上會(hui) 被部分反射、部分吸收；如果該區域的幾何結構很複雜，那麽(me) 嚐試執行大量“物理地”隨機遊走，可能比嚐試經典地求解積分微分方程更經濟。這些“遊走”可以在機器上方便地進行，而在概率論中對隨機遊走的處理是簡化為(wei) 微分方程——這個(ge) 程序實際上做的恰好相反。

這種方法的另一個(ge) 例子是，給定一組函數方程，試圖將其轉換為(wei) 具有概率論或博弈論解釋的等價(jia) 方程。人們(men) 在計算機上將這些等價(jia) 方程進行模擬，以表示隨機過程，所獲得的分布將對原始方程的解給出一個(ge) 合理的推測。更進一步，希望直接獲得所討論的物理係統行為(wei) 的“同態象”。必須指出的是，在目前研究的許多物理問題中，最初通過某些理想化而獲得的微分方程，可以說不再是神聖不可侵犯的了。至少，在計算機上直接研究這些係統模型可能具有啟發價(jia) 值。

在戰爭(zheng) 末期及隨後的幾年裏，馮(feng) ·諾伊曼和我（即本文作者）用這種方法處理了相當多的問題。起初，物理情景本身就直接提出了概率解釋問題。後來，研究了上麵提到的第三類問題。這種數學模型的理論仍然非常不完整。特別是，對漲落和精確度的估計尚未得到發展。而在這方麵，馮(feng) ·諾伊曼再次貢獻了大量巧妙的方法，例如通過適當博弈，產(chan) 生給定概率分布的數列。他還設計了用於(yu) 處理玻爾茲(zi) 曼方程的概率模型，以及用於(yu) 流體(ti) 動力學中一些嚴(yan) 格確定性問題的重要隨機模型。這些工作大多分散在各種實驗室報告中，或者仍是手稿。我們(men) 當然希望能在不久的將來，向數學界出版經過係統編纂的文集。

自動機理論與(yu) 概率邏輯

香農(nong) （Claude E. Shannon）教授的文章《馮(feng) ·諾伊曼對自動機理論的貢獻》（Von Neumann's contributions to automata theory），對他在自動機理論方麵的工作做了介紹。這項工作，就像博弈論一樣，在過去幾年中激發了廣泛且日益擴展的研究，在我看來，這與(yu) 他最富有成效的思想並駕齊驅。在這裏，他對數理邏輯、計算機、數學分析的興(xing) 趣與(yu) 數學物理問題的星空体育官网入口网站相結合，在新的構建中結出碩果。圖靈（Alan Turing）、麥卡洛克（Warren McCulloch）和皮茨（Walter Pitts）關(guan) 於(yu) 通過電氣網絡（electrical networks）或理想化神經係統（idealized nervous systems）表示邏輯命題的想法，啟發他提出並概述了自動機的一般理論。這項理論的概念和術語來自幾個(ge) 不同領域——數學，電氣工程和神經科學。這些研究現在有望在數學方麵取得更多的成就，也許一開始是在一個(ge) 非常簡化的層麵上——將生物體(ti) 和神經係統本身的運作形式化。

核能——在洛斯阿拉莫斯的工作

恰好在第二次世界大戰爆發前夕，人們(men) 發現了鈾原子因吸收中子，從(cong) 而釋放了更多中子的裂變現象。許多物理學家立即意識到，大量的鈾發生指數級的反應，會(hui) 釋放巨大能量；於(yu) 是，他們(men) 開始討論，定量評估這一現象以實現新能源的利用。

與(yu) 數學家相比，理論物理學家形成了一個(ge) 規模更小且聯係更緊密的群體(ti) ，一般來說，他們(men) 之間成果和思想的交流也更快。馮(feng) ·諾伊曼在量子理論基礎方麵的工作，使他很早就接觸到了大多數一流物理學家，他意識到了新的實驗事實，並從(cong) 一開始就參與(yu) 了他們(men) 對裂變現象所潛藏的巨大技術可能性的推測。戰爭(zheng) 爆發前，他就投入到與(yu) 國防問題有關(guan) 的科學工作中。然而，直到1943年末，奧本海默才邀請他作為(wei) 顧問訪問洛斯阿拉莫斯實驗室，並開始參與(yu) 以製造原子彈為(wei) 最終目的工作。

眾(zhong) 所周知，第一個(ge) 自持式（self-sustaining）核鏈式反應是由費米領導的一組物理學家於(yu) 1942年12月2日在芝加哥實現的。他們(men) 建造了一個(ge) 反應堆，將鈾和一種減速物質布置在一起，中子在其中被減速，以增加引發進一步裂變的可能性。反應堆規模非常大，中子數量以指數增長至e倍所用的時間相對較長。在洛斯阿拉莫斯建立的項目的目標是，在相對少量的鈾-235或鈈的同位素中產(chan) 生非常快速的反應，從(cong) 而導致巨大能量的爆炸性釋放。1943年春末，一個(ge) 科學小組開始組建起來，到當年秋天，大量傑出的理論和實驗物理學家在洛斯阿拉莫斯定居下來。當馮(feng) ·諾伊曼抵達這裏時，小組正在研究將裂變物質組裝達成臨(lin) 界質量的各種方法。沒有一種方案可以預先知道是否成功，其中一個(ge) 問題是，要在核反應導致輕度或中等程度的爆炸之前實施快速組裝，否則大部分核裝料就被浪費了。

特勒（Edward Teller）還記得約翰尼抵達拉米（Lamy，離洛斯阿拉莫斯最近的火車站）時的場景，然後他被一輛公務車帶到了“山上”（the Hill，即洛斯阿拉莫斯小鎮，位於(yu) 一處高地），當時這裏是高度保密的：

“當他到達時，統籌委員會(hui) （Coordinating Council）正在開會(hui) 。我們(men) 的領導奧本海默正在報告渥太華會(hui) 議的情況。他的講話中提及了許多最重要的人物和同樣重要的決(jue) 定，其中之一與(yu) 我們(men) 密切相關(guan) ：我們(men) 可以期待英國特遣隊在不久的將來來到這裏。講話結束後，他詢問大家是否有任何問題或意見。觀眾(zhong) 對此印象深刻，沒有提出任何問題。然後奧本海默提出其他話題也可以提問。過了一兩(liang) 秒鍾，一個(ge) 低沉的聲音（其來源已經消失在曆史中）說：‘我們(men) 什麽(me) 時候才能在山上找到一個(ge) 鞋匠？’盡管當時沒有與(yu) 約翰尼討論任何科學問題，但他斷言，從(cong) 那一刻起，他已經完全了解了洛斯阿拉莫斯的本質。”

當時的工作氣氛非常熱烈，與(yu) 技術或工程實驗室相比，這裏不拘於(yu) 形式，具有探索性質，因此更像大學中的研討會(hui) ，可以說，是一種科學討論的抽象風格。我清楚地記得，一到洛斯阿拉莫斯時，我就驚訝地發現，這裏的環境讓人想起一群數學家在討論他們(men) 抽象的猜想，而不是工程師研究一個(ge) 定義(yi) 明確的實際項目——討論經常非正式地進行，直到深夜。從(cong) 科學上講，這種情況的一個(ge) 顯著特征是所遇問題的多樣性，每個(ge) 問題對項目的成功都同樣重要。例如，數量呈指數級增長的中子在空間和時間上的分布問題；同樣重要的問題包括，原子彈內(nei) 核裝料裂變導致的持續增加的能量沉積問題，爆炸中的流體(ti) 動力學運動的計算；輻射形式的能量的分布；最後還有，原子彈失去臨(lin) 界狀態後周圍材料的運動過程。理解所有這些所涉及數學領域極為(wei) 不同的問題至關(guan) 重要。

這裏不可能詳細介紹馮(feng) ·諾伊曼的貢獻。我將嚐試指出一些相對重要的方麵。1944年初，我們(men) 考慮了一種內(nei) 爆（implosion）方法，用於(yu) 可裂變物質的組裝。這個(ge) 過程涉及到對核裝料的球麵衝(chong) 擊，對其進行壓縮。馮(feng) ·諾伊曼、貝特（Hans Bethe）和特勒是最早認識到這一方案具有優(you) 勢的人。特勒向馮(feng) ·諾伊曼講述了內(nei) 德梅耶（Seth Neddermeyer）的實驗工作，然後他們(men) 合作研究出這種球麵幾何的基本結果。馮(feng) ·諾伊曼得出的結論是，這種方法可以產(chan) 生極大的壓力，並且在討論中還弄清楚了，巨大的壓力也會(hui) 帶來相當大的壓縮。為(wei) 了以足夠對稱的方式開始內(nei) 爆，必須同時從(cong) 多點引爆以傳(chuan) 遞至內(nei) 部的高爆炸藥。塔克（James Tuck）和馮(feng) ·諾伊曼建議使用高爆透鏡以輔助實現。

我們(men) 之前提到過馮(feng) ·諾伊曼與(yu) 物理學家交流的能力，他理解物理學家的語言，幾乎能立即將其轉化為(wei) 數學家熟悉的形式，這種能力也許在數學家中非常罕見。然後，他還可以將答案翻譯回物理學家常用的表達方式。

第一次嚐試計算內(nei) 爆引起的運動，是極為(wei) 示意性的。人們(men) 對所涉及的核裝料的狀態的方程知之甚少，但即使通過粗略的數學近似，也會(hui) 導出一些方程，而對它們(men) 的求解也明顯超過了精確解析方法的範圍。很明顯，為(wei) 了獲得正確的定量結果，必須進行大量繁瑣的數值工作，而這時計算機作為(wei) 必要的輔助工具出現了。

一個(ge) 更為(wei) 複雜的問題是核爆炸特性的計算。其中釋放的能量取決(jue) 於(yu) 向外運動的過程，當然，這些運動受以下因素約束：能量沉積率、材料的熱力學性質以及極高溫度下產(chan) 生的輻射等。對於(yu) 第一次實驗，人們(men) 也隻能對近似計算感到滿意；正如前文所述，如果沒有計算機的複雜計算，即使是數量級也不容易估計。戰爭(zheng) 結束後，對於(yu) 計算機的使用，為(wei) 了節省資源並最大限度地利用，人們(men) 提出需要用其做更精確的計算。馮(feng) ·諾伊曼對被考慮的物理問題的數學處理做出了很大貢獻。

在戰爭(zheng) 期間，研究人員已經考慮了熱核（thermonuclear）反應的可能性，最初隻是做了一些討論，然後進行了初步計算。作為(wei) 一個(ge) 富有想象力的小組的成員，馮(feng) ·諾伊曼在其中非常活躍，他們(men) 考慮了大規模實現這種反應的各種方案。在數學上，處理這種反應所必需的條件和其過程所涉及的問題，甚至比裂變爆炸的問題更複雜（實際上，理解裂變爆炸的性質是探究熱核反應的先決(jue) 條件）。在一次討論中，我們(men) 概述了這種計算的過程，馮(feng) ·諾伊曼轉過身來對我說：“我們(men) 在執行計算中所做的基本算術運算，也許比人類迄今所做運算的總數還要多。”不過，我們(men) 注意到，世界上學齡兒(er) 童在幾年內(nei) 所做乘法的總數，就已經明顯的超過了我們(men) 的問題！

由於(yu) 篇幅有限，我無法列舉(ju) 馮(feng) ·諾伊曼無數多個(ge) 較小的技術貢獻，但它們(men) 很受從(cong) 事這個(ge) 項目的物理學家和工程師的歡迎。

馮(feng) ·諾伊曼非常擅長在不使用筆紙的情況下，在頭腦中進行尺度估計以及代數和數值計算。這種能力，也許有點類似於(yu) 蒙著眼睛下棋的天賦，常常給物理學家留下深刻的印象。我的印象是，馮(feng) ·諾伊曼並沒有將所考慮的物理對象形象化，而是將它們(men) 的性質視為(wei) 基本物理假設的邏輯結果，他可以把這種演繹推理玩得出神入化！

馮(feng) ·諾伊曼個(ge) 人的科學風格有一個(ge) 很大的特點，就是願意用心傾(qing) 聽，即使那些問題沒有太多科學意義(yi) ，但謎題隻要能體(ti) 現一種組合性的吸引力，他就會(hui) 給予關(guan) 注。這使他博得了那些從(cong) 事數學技術應用的人的喜歡與(yu) 追捧。許多與(yu) 他交談的人都得到了積極的幫助或安慰，因為(wei) 他們(men) 知道，數學中沒有什麽(me) 魔法——能讓人輕鬆地解決(jue) 他們(men) 的問題。馮(feng) ·諾伊曼無私地參與(yu) 了可能數量過多、門類過廣的活動，這些活動可能對數學洞察力有用（這些活動在當今的技術發展中越來越普遍），但也對他的時間提出了嚴(yan) 峻的要求。在第二次世界大戰結束後的幾年裏，他發現自己幾乎每時每刻都在為(wei) 各種相互矛盾的要求而糾結。

馮(feng) ·諾伊曼堅信，核能的釋放所引發的技術革命，將給人類社會(hui) ，特別是給科學發展，帶來比人類曆史上任何技術發現都更為(wei) 深刻的變化。他告訴我，在他非常年輕的時候就相信，在有生之年核能會(hui) 被開發出來，並改變人類活動的秩序，這是他為(wei) 數不多的幾次談到自己的幸運猜測的例子之一。

他積極參與(yu) 了關(guan) 於(yu) 受控熱核反應可能性的早期設想和審議。1954年，他成為(wei) 原子能委員會(hui) 的一員，致力於(yu) 解決(jue) 與(yu) 裂變反應堆的建造和運行有關(guan) 的技術和經濟問題。在這個(ge) 職位上，他還花了很多時間來組織數學計算機的研究，並設法將它們(men) 提供給大學和其他研究中心。

馮(feng) ·諾伊曼的數學旅途

馮(feng) ·諾伊曼在數學領域留下了如此多的永恒印記，我們(men) 隻對他這方麵的工作進行粗略瀏覽，又零星介紹了他在其他多個(ge) 領域的成就，這可能會(hui) 引發這樣一個(ge) 問題：他的工作中是否有一條連續的脈絡?

正如龐加萊所說：“有些問題是我們(men) 自己問的，有些問題是自然出現的。（Il y a des problèmes qu'on se pose et des problèmes qui se posent。）”現在，在偉(wei) 大的法國數學家提出這種模糊區別的50年後，數學問題中的這種劃分已經更尖銳地體(ti) 現出來。數學家們(men) 所考慮的對象，更多是他們(men) 自己的自由創造，可以說，通常是對先前構造的特殊推廣。這些理論有時最初是受到物理圖景的啟發，而另一些則從(cong) 自由的數學創造中演化而來——在某些情況下，預示了物理關(guan) 係的實際模式。馮(feng) ·諾伊曼的思想顯然受到這兩(liang) 種傾(qing) 向的影響。他的願望是，盡可能讓金字塔式的數學構造，與(yu) 物理和其他科學中不斷增長的複雜性保持聯係，而這種聯係現在越來越難以捉摸。

18世紀一些偉(wei) 大的數學家，特別是歐拉，成功地將許多自然現象的描述納入數學分析領域。馮(feng) ·諾伊曼的工作，試圖讓由集合論和現代代數發展的數學扮演類似的角色。當然，在今天，這是一項困難得多的任務。在19世紀的大部分時間裏，無窮小演算（infinitesimal calculus，即微積分的早期說法）和隨後數學分析的發展，不僅(jin) 僅(jin) 能為(wei) 因物理學發現而打開的潘多拉盒子之內(nei) 容編目，也有希望理解真正理解這些內(nei) 容。這種希望現在是虛幻的，僅(jin) 僅(jin) 是因為(wei) 歐幾裏得空間的實數係統——在代數上，甚至隻在拓撲學上——都不能再聲稱其是物理理論唯一的，甚或最好的數學基礎。19世紀的物理思想，在數學上由微分和積分方程以及解析函數理論主導，現在這些已經不夠用了。新的量子理論在解析方麵需要集合論的更一般的觀點，其原始概念本身就涉及概率分布和無限維函數空間。而與(yu) 此相對應的代數則涉及到組合和代數結構的研究，比僅(jin) 用實數或複數表示的結構更一般。因此要理解這些數學，人們(men) 可以運用康托集合論，以及由希爾伯特、外爾（Hermann Weyl）、諾特（Emmy Noether）、阿廷（Emil Artin）和布勞威爾（Richard Brauer）等人發展一整套複雜思想，而馮(feng) ·諾伊曼的工作這時應用而生。

另一項啟發普通數學發展的內(nei) 容是一種新的組合分析，源於(yu) 最近的生物科學的基礎性研究。在這方麵，目前缺乏通用的方法的狀況更加明顯了。這些問題本質上是非線性的，並且具有極其複雜的組合特征。看來，在人們(men) 希望獲得決(jue) 定性的綜合理論所需的洞察力之前，還需要許多年的實驗和啟發式研究。正是意識到這一點，馮(feng) ·諾伊曼在過去十年中將大量精力投入到計算機器的研究和建造中，並為(wei) 自動機的研究製定了初步大綱。

回顧馮(feng) ·諾伊曼的工作，看看它們(men) 分支如此眾(zhong) 多、延伸廣闊，人們(men) 可以像希爾伯特那樣說：“人們(men) 不禁會(hui) 問自己，數學科學是否會(hui) 像其他科學長期以來的情況那樣，結束於(yu) 被分割為(wei) 各自孤立的部分，它們(men) 的代表人物（研究人員）幾乎無法理解彼此，它們(men) 的關(guan) 係將繼續減少？我不這麽(me) 認為(wei) ，也不希望這樣；數學科學是一個(ge) 不可分割的整體(ti) ，是一個(ge) 有機體(ti) ，其生命力正是在於(yu) 其各部分無法分離。無論我們(men) 的科學門類在其細節上有多麽(me) 的多樣化，我們(men) 仍然被邏輯過程的對等性、整個(ge) 科學中思想的關(guan) 係以及不同領域中無數的類比所震撼……”36馮(feng) ·諾伊曼的工作正是對數學的普適性和有機統一的理想做出了貢獻。

（編者注：原文最後一部分是介紹馮(feng) ·諾伊曼的部分榮譽和擔任過的職務，以及作者烏(wu) 拉姆整理的論文列表。如有需要可閱讀原文。）

注釋

1.譯者注：馬爾薩斯（Thomas Robert Malthus，1766 -1834），英國教士、人口學家、政治經濟學家，以其人口理論聞名於(yu) 世。

2.[7]Uber die Grundlagen der Quantenmechanik. With D. Hilbert and L. Nordheim. Math. Ann. vol. 98 (1927) pp. 1-30.

3.譯者注：諾德海姆（Lothar Wolfgang Nordheim，1899-1985），德裔美籍物理學家，對量子理論、核物理、粒子物理均有貢獻。

4.有關(guan) 原子現象的非相對論量子理論公理化現狀，有一篇出色的簡明總結，請參閱George Mackey的文章Quantum mechanics and Hilbert space, Amer. Math. Monthly, October, 1957, 並且仍然主要基於(yu) 馮(feng) ·諾伊曼的書(shu) 《量子力學的數學基礎》。

5.Wahrscheinlichkeitstheoretischer Aufbau der Quantenmechanik, Nachr. Ges. Wiss. Göttingen (1927) pp. 245-272.

6.這裏不可能總結所涉及的數學論證。絕大多數物理學家仍然同意馮(feng) ·諾伊曼的提議。這並不是說，與(yu) 目前量子力學的數學表述不同的理論不允許隱變量存在。有關(guan) 最近的討論，請參閱科斯頓文集（第9卷），這是1957年4月1日至4月4日在布裏斯托爾大學舉(ju) 行的科爾斯頓研究學會(hui) （Colston Research Society）第九屆研討會(hui) 的會(hui) 議記錄，其中有玻姆（David Bohm），羅森菲爾德（Léon Rosenfeld）等人的討論。

7.[33]Über einen Hilfssatz der Variationsrechnung, Abh. Math. Sem. Hansischen Univ. vol. 8 (1930) pp. 28-31.

8.譯者注：Tibor Radó（1995-1965），匈牙利數學家，以解決(jue) Plateau問題而聞名。

9.[41]Proof of the quasi-ergodic hypothesis, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. vol. 18(1932) pp. 70-82.

10.庫普曼（Bernard Osgood Koopman，1900-1981），法裔美籍數學家，以遍曆理論、概率論、統計理論和運籌學的基礎工作而聞名。美國運籌學學會(hui) 的創始成員和第六任主席。

11.譯者注：度量可遞性質（Metric transitivity），可參考
https://encyclopediaofmath.org/wiki/Metric_transitivity

12.[56]On compact solutions of operational-differential equations. I. With S. Bochner. Ann. of Math. vol. 36 (1935) pp. 255-291.

13.[80]Fourier integrals and metric geometry. With I. J. Schoenberg. Trans. Amer. Math. Soc. vol. 50 (1941) pp. 226-251.

14.[86]Approximative properties of matrices of high finite order, Portugaliae Mathematica vol. 3 (1942) pp. 1-62.

15.[91]Solution of linear systems of high order. With V. Bargmann and D, Montgomery. Report prepared for Navy BuOrd under Contract Nord-9596-25, Oct. 1946, 85 pp.

16.[94]Numerical inverting of matrices of high order. With H. H. Goldstine. Bull. Amer. Math. Soc. vol. 53 (1947) pp. 1021-1099.

17.[109]Numerical inverting of matrices of high order, II. With H. H. Goldstine. Proc. Amer. Math. Soc. vol. 2 (1951) pp. 188-202.

18.Kuhn, H. W., & Tucker, A. W. (1958). John von Neumann’s work in the theory of games and mathematical economics. Bulletin of the American Mathematical Society, 64(3), 100–123. doi:10.1090/s0002-9904-1958-10209-8

19.[17]Zur Theorie der esellschaftsspiele, Math. Ann. vol. 100 (1928) pp. 295-320.

20.[72]Über ein ökonomisches Gleichungssystem und eine Verallgemeinerung Brouwerschen Fixpunktsatzes, Erg. eines Math. Coll., Vienna, edited by K. Menger, vol. 8, 1937, pp. 73-83.

21.[102]Solutions of games by differential equations. With G. W. Brown, "Contributions to the Theory of Games,n Ann. of Math. Studies, no. 24, Princeton University Press, 1950, pp. 73-79.

22.[113]A certain zero-sum two-person game equivalent to the optimal assignment problem. "Contributions to the Theory of Games,* Vol. II, Ann. Of Math. Studies, no. 28, Princeton University Press, 1953, pp. 5-12.

23.[114]Two variants of poker. With D. G. Gillies and J. P. Mayberry. "Contributions to the Theory of Games," Vol. II. Ann. of Math. Studies, no. 28, Princeton University Press 1953, pp. 13-50.

24.[90]Theory of games and economic behavior. With O. Morgenstern. Princeton University Press (1944, 1947, 1953) 625 pp.

25.譯者注：亞(ya) 伯拉罕·瓦爾德（Abraham Wald，1902-1950），羅馬尼亞(ya) 裔美國統計學家。二戰時在戰機損傷(shang) 問題中考慮了幸存者偏差問題。

26.譯者注：裏奧尼德·赫維克茲(zi) （Leonid Hurwicz,1917-2008），2007年諾貝爾經濟學獎得主，開創了機製設計理論。

27.American Economic Review vol. 35 (1945) pp. 909-925.

28.譯者注：雅各布・馬爾沙克（Jacob Marschak）經濟學家，西方信息經濟學創始人之一。1959年，他發表《信息經濟學家評論》一文，標誌著信息經濟學的誕生。

29.Journal of Political Economy vol. 54 (1946) pp. 97-115.

30.[84]The statistics of the gravitational field arising from a random distribution of stars, I. With S. Chandrasekhar. The Astrophysical Journal vol. 95 (1942) pp. 489-531.

31.[88]The statistics of the gravitational field arising from a random distribution of stars. II. The speed of fluctuations', dynamical friction*, spatial correlations. With S. Chandrasekhar. The Astrophysical Journal vol. 97 (1943) pp. 1-27.

32.[108]Discussion of the existence and uniqueness or multiplicity of solutions of theaerodynamical equations (Chapter 10) of the Problems of Cosmical Aerodynamics, Proceedings of the Symposium on the Motion of Gaseous Masses of Cosmical Dimensions held at Paris, August 16-19, 1949. Central Air Doc. Office, 1951, pp. 75-84.

33.[100]A method for the numerical calculation of hydrodynamic shocks. With R. D. Richtmyer. Journal of Applied Physics vol. 21 (1950) pp. 232-237.

34.查尼（Jule Charney）和他在氣象學問題上合作密切，可參考[104]Numerical integration of the barotropic vorticity equation. With J. G. Charney and R. Fjortoft. Tellus 2 (1950) pp. 237-254.

35.[120]Can we survive technology?, Fortune, June, 1955.

36.譯者注：借用了莎士比亞(ya) 《暴風雨》的台詞“the great globe itself”。

37.譯者注：ENIAC，全稱為(wei) Electronic Numerical Integrator And Computer，即電子數字積分計算機，於(yu) 1946年2月14日在美國宣告誕生。ENIAC是繼ABC（阿塔納索夫-貝瑞計算機）之後的第二台電子計算機和第一台通用計算機。它是完全的電子計算機，能夠編程，解決(jue) 各種計算問題。

38.譯者注：關(guan) 於(yu) 閉合解，可參見
https://mathworld.wolfram.com/Closed-FormSolution.html

39.Hubert: Problèmes futurs des Mathématiques, Comptes-Rendus, 2ème Congrès International de Mathématiques, Paris, 1900.

本文基於(yu) 星空体育官网入口网站創作共享許可協議（CC BY-NC 4.0），譯自S. Ulam, John von Neumann 1903-1957, Bull. Amer. Math. Soc. 64 (1958), 1-49，原文鏈接：

https://www.ams.org/journals/bull/1958-64-03/S0002-9904-1958-10189-5/S0002-9904-1958-10189-5.pdf

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