圓規和直尺是非常重要的作圖工具，僅(jin) 使用無刻度的直尺和圓規作圖的方法叫尺規作圖。尺規作圖來源於(yu) 古希臘的數學課題，利用尺規作圖方法可以作出很多基本圖形，但卻不能解決(jue) 所有問題。被稱為(wei) “古希臘三大幾何問題”的三等分角問題、倍立方問題、化圓為(wei) 方問題，便無法用尺規作圖的方法輕鬆解決(jue) 。

取一個(ge) 任意角，作出其三等分線，即為(wei) 三等分角問題。在尺規作圖中，將任意角二等分、四等分或八等分是容易解決(jue) 的。畫一個(ge) 任意角，以頂點O為(wei) 圓心，取任意長度為(wei) 半徑畫弧，任意角的兩(liang) 條邊與(yu) 弧相交於(yu) A、B兩(liang) 點。再分別以A、B兩(liang) 點為(wei) 圓心，取相同且大於(yu) A、B間距一半的長度為(wei) 半徑畫弧,兩(liang) 段弧相交於(yu) 點C。連接O、C兩(liang) 點，直線OC即把這個(ge) 任意角分成了二等分，如此反複下去即可得到四等分、八等分、十六等分等。偶數等分易得，但三等分卻不可得。

取一個(ge) 任意大小的立方體(ti) ,作出體(ti) 積是它兩(liang) 倍的立方體(ti) ，即為(wei) 倍立方問題。取一個(ge) 任意大小的圓，作出麵積和它相等的一個(ge) 正方形，即為(wei) 化圓為(wei) 方問題。解析幾何的出現，為(wei) 數學家提供了新的研究方法，最終證明了這三個(ge) 幾何問題隻利用尺規作圖不可解。

坐標計算的帶入，讓幾何問題轉變成為(wei) 代數問題。直線可視為(wei) 一次方程，圓相當於(yu) 二次方程，尺規作圖也就可歸納為(wei) 一個(ge) 二次方程組。數學家在對代數方程和抽象代數進行一係列研究後發現，從(cong) 單位長度出發，尺規作圖可以作出的長度,恰好是自然數通過有限次四則運算和開平方能得到的所有數。

在三等分角問題中，若尺規作圖時假設給定了一個(ge) 單位長度,那麽(me) 作出任意一個(ge) 確定的角，就相當於(yu) 作出了這個(ge) 角的正弦值。比如，通過尺規作圖可作出的角，是因角的正弦值可通過有限次四則運算和開平方得到。而角——也就是角的三等分角，正弦值卻無法通過有限次四則運算開平方得到，也就是說無法隻用尺規作出角的三等分。由此可知，三等分角問題不可解。

在倍立方問題中，假設將這個(ge) 任意立方體(ti) 的棱長作為(wei) 單位長度,那麽(me) 體(ti) 積是它兩(liang) 倍的立方體(ti) 的棱長為(wei) ，此數不能通過有限次四則運算和開平方得到。由此可知，倍立方問題不可解。

在化圓為(wei) 方問題中，假設任意圓的半徑為(wei) 1個(ge) 單位長度,其麵積為(wei) ，那麽(me) 麵積相同的圓的邊長即為(wei) 。德國數學家林德曼早在1882年就證明了π是一個(ge) 超越數。所謂超越數是指不滿足係數不全為(wei) 零的整係數多項式方程的數，也就是說超越數不能通過有限次四則運算和開平方得到。由此可知，化圓為(wei) 方問題也不可解。

然而人們(men) 在研究這些問題時發現，隻要更改了古希臘尺規作圖的一點條件，這三大問題就不那麽(me) 困難了。阿基米德曾在直尺上做了一個(ge) 記號，使得直尺實際具備了刻度功能，解決(jue) 了三等分角的問題。

即使這三大問題被代數證明僅(jin) 用尺規作圖不可能解決(jue) ，但是這並不妨礙我們(men) 去嚐試研究。在研究三大幾何問題的過程中，數學家開創了對圓錐曲線的研究、發現了尺規作圖的判別準則等，這些問題要比三大幾何難題本身更有意義(yi) 。

本文由中國人民大學附屬中學第二分校一級教師秦薇進行科學性把關(guan) 。

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